Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1763 / 1382
↖ ↑ ↗
← N 75.780546°
W102.524414°		 ← 1 200.30 m → N 75.780546°
W102.480469°		 →
↑
1 200.81 m
↓
↑
1 200.81 m
↓
N 75.769747°
W102.524414°		 ← 1 201.19 m →
1 441 865 m²		 N 75.769747°
W102.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21527099609375 y=0.16876220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21527099609375 × 213)
    floor (0.21527099609375 × 8192)
    floor (1763.5)     		tx = 1763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16876220703125 × 213)
    floor (0.16876220703125 × 8192)
    floor (1382.5)     		ty = 1382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1763 / 1382 ti = "13/1763/1382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1763/1382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1763 ÷ 213
    1763 ÷ 8192     		x = 0.2152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1382 ÷ 213
    1382 ÷ 8192     		y = 0.168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78938859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168701171875 × 2 - 1) × π
    0.66259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08161192910132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78938859} λ = -1.78938859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08161192910132))-π/2
    2×atan(8.01738195533721)-π/2
    2×1.44670817607559-π/2
    2.89341635215118-1.57079632675     		φ = 1.32262003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78938859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32262003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.780546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1763 KachelY 1382 -1.78938859 1.32262003 -102.524414 75.780546
    Oben rechts KachelX + 1 1764 KachelY 1382 -1.78862160 1.32262003 -102.480469 75.780546
    Unten links KachelX 1763 KachelY + 1 1383 -1.78938859 1.32243155 -102.524414 75.769747
    Unten rechts KachelX + 1 1764 KachelY + 1 1383 -1.78862160 1.32243155 -102.480469 75.769747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32262003-1.32243155) × R
    0.000188480000000046 × 6371000     		dl = 1200.8060800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32262003-1.32243155) × R
    0.000188480000000046 × 6371000     		dr = 1200.8060800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78938859--1.78862160) × cos(1.32262003) × R
    0.000766990000000023 × 0.245636540125584 × 6371000     		do = 1200.30130510252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78938859--1.78862160) × cos(1.32243155) × R
    0.000766990000000023 × 0.245819241111481 × 6371000     		du = 1201.19407224418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32262003)-sin(1.32243155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245636540125584-0.245819241111481)×R²
    abs(-1.78862160--1.78938859)×0.000182700985897261×R²
    0.000766990000000023×0.000182700985897261×6371000²
    0.000766990000000023×0.000182700985897261×40589641000000     		ar = 1441865.12937401m²