Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17629 / 13501
↖ ↑ ↗
← N 80.562294°
W131.580505°		 ← 50.08 m → N 80.562294°
W131.577759°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.561843°
W131.580505°		 ← 50.08 m →
2 508 m²		 N 80.561843°
W131.577759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134502410888672 y=0.103008270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134502410888672 × 217)
    floor (0.134502410888672 × 131072)
    floor (17629.5)     		tx = 17629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103008270263672 × 217)
    floor (0.103008270263672 × 131072)
    floor (13501.5)     		ty = 13501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17629 / 13501 ti = "17/17629/13501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17629/13501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17629 ÷ 217
    17629 ÷ 131072     		x = 0.134498596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13501 ÷ 217
    13501 ÷ 131072     		y = 0.103004455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134498596191406 × 2 - 1) × π
    -0.731002807617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.29651305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103004455566406 × 2 - 1) × π
    0.793991088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.49439657172962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29651305} λ = -2.29651305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49439657172962))-π/2
    2×atan(12.1144211283717)-π/2
    2×1.48843680371349-π/2
    2.97687360742698-1.57079632675     		φ = 1.40607728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29651305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.580505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40607728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.562294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17629 KachelY 13501 -2.29651305 1.40607728 -131.580505 80.562294
    Oben rechts KachelX + 1 17630 KachelY 13501 -2.29646511 1.40607728 -131.577759 80.562294
    Unten links KachelX 17629 KachelY + 1 13502 -2.29651305 1.40606942 -131.580505 80.561843
    Unten rechts KachelX + 1 17630 KachelY + 1 13502 -2.29646511 1.40606942 -131.577759 80.561843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40607728-1.40606942) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dl = 50.0760600012278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40607728-1.40606942) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dr = 50.0760600012278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29651305--2.29646511) × cos(1.40607728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163975187113015 × 6371000     		do = 50.0822428655982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29651305--2.29646511) × cos(1.40606942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163982940718634 × 6371000     		du = 50.0846110163321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40607728)-sin(1.40606942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163975187113015-0.163982940718634)×R²
    abs(-2.29646511--2.29651305)×7.75360561910965e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.75360561910965e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.75360561910965e-06×40589641000000     		ar = 2507.98069249177m²