Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17628 / 51564
↖ ↑ ↗
← S 71.265539°
W 83.166504°		 ← 196.17 m → S 71.265539°
W 83.161011°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 71.267303°
W 83.166504°		 ← 196.16 m →
38 493 m²		 S 71.267303°
W 83.161011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268989562988281 y=0.786811828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268989562988281 × 216)
    floor (0.268989562988281 × 65536)
    floor (17628.5)     		tx = 17628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786811828613281 × 216)
    floor (0.786811828613281 × 65536)
    floor (51564.5)     		ty = 51564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17628 / 51564 ti = "16/17628/51564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17628/51564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17628 ÷ 216
    17628 ÷ 65536     		x = 0.26898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51564 ÷ 216
    51564 ÷ 65536     		y = 0.78680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80204393051715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45152932} λ = -1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80204393051715))-π/2
    2×atan(0.164961373824988)-π/2
    2×0.163489016139354-π/2
    0.326978032278707-1.57079632675     		φ = -1.24381829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24381829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.265539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17628 KachelY 51564 -1.45152932 -1.24381829 -83.166504 -71.265539
    Oben rechts KachelX + 1 17629 KachelY 51564 -1.45143345 -1.24381829 -83.161011 -71.265539
    Unten links KachelX 17628 KachelY + 1 51565 -1.45152932 -1.24384909 -83.166504 -71.267303
    Unten rechts KachelX + 1 17629 KachelY + 1 51565 -1.45143345 -1.24384909 -83.161011 -71.267303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24381829--1.24384909) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24381829--1.24384909) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45152932--1.45143345) × cos(-1.24381829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321182647971903 × 6371000     		do = 196.17443331745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45152932--1.45143345) × cos(-1.24384909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321153479687698 × 6371000     		du = 196.156617686185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24381829)-sin(-1.24384909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321182647971903-0.321153479687698)×R²
    abs(-1.45143345--1.45152932)×2.91682842053498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91682842053498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91682842053498e-05×40589641000000     		ar = 38492.9333428359m²