Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17624 / 51562
↖ ↑ ↗
← S 71.262010°
W 83.188477°		 ← 196.23 m → S 71.262010°
W 83.182983°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 71.263774°
W 83.188477°		 ← 196.21 m →
38 504 m²		 S 71.263774°
W 83.182983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268928527832031 y=0.786781311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268928527832031 × 216)
    floor (0.268928527832031 × 65536)
    floor (17624.5)     		tx = 17624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786781311035156 × 216)
    floor (0.786781311035156 × 65536)
    floor (51562.5)     		ty = 51562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17624 / 51562 ti = "16/17624/51562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17624/51562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17624 ÷ 216
    17624 ÷ 65536     		x = 0.2689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51562 ÷ 216
    51562 ÷ 65536     		y = 0.786773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45191282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.57354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80185218291867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45191282} λ = -1.45191282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80185218291867))-π/2
    2×atan(0.164993007805034)-π/2
    2×0.163519811935628-π/2
    0.327039623871257-1.57079632675     		φ = -1.24375670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45191282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24375670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.262010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17624 KachelY 51562 -1.45191282 -1.24375670 -83.188477 -71.262010
    Oben rechts KachelX + 1 17625 KachelY 51562 -1.45181694 -1.24375670 -83.182983 -71.262010
    Unten links KachelX 17624 KachelY + 1 51563 -1.45191282 -1.24378750 -83.188477 -71.263774
    Unten rechts KachelX + 1 17625 KachelY + 1 51563 -1.45181694 -1.24378750 -83.182983 -71.263774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24375670--1.24378750) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24375670--1.24378750) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45191282--1.45181694) × cos(-1.24375670) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321240974156252 × 6371000     		do = 196.230524499859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45191282--1.45181694) × cos(-1.24378750) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321211806481348 × 6371000     		du = 196.212707382477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24375670)-sin(-1.24378750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321240974156252-0.321211806481348)×R²
    abs(-1.45181694--1.45191282)×2.91676749031855e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.91676749031855e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.91676749031855e-05×40589641000000     		ar = 38503.9397903064m²