Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17624 / 24040
↖ ↑ ↗
← S 64.052978°
E 13.623047°		 ← 534.52 m → S 64.052978°
E 13.634033°		 →
↑
534.46 m
↓
↑
534.46 m
↓
S 64.057785°
E 13.623047°		 ← 534.42 m →
285 654 m²		 S 64.057785°
E 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537857055664062 y=0.733657836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537857055664062 × 215)
    floor (0.537857055664062 × 32768)
    floor (17624.5)     		tx = 17624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733657836914062 × 215)
    floor (0.733657836914062 × 32768)
    floor (24040.5)     		ty = 24040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17624 / 24040 ti = "15/17624/24040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17624/24040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17624 ÷ 215
    17624 ÷ 32768     		x = 0.537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24040 ÷ 215
    24040 ÷ 32768     		y = 0.733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537841796875 × 2 - 1) × π
    0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23776702} λ = 0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4680196139646))-π/2
    2×atan(0.23038127758025)-π/2
    2×0.22643047918053-π/2
    0.45286095836106-1.57079632675     		φ = -1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17624 KachelY 24040 0.23776702 -1.11793537 13.623047 -64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 17625 KachelY 24040 0.23795877 -1.11793537 13.634033 -64.052978
    Unten links KachelX 17624 KachelY + 1 24041 0.23776702 -1.11801926 13.623047 -64.057785
    Unten rechts KachelX + 1 17625 KachelY + 1 24041 0.23795877 -1.11801926 13.634033 -64.057785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11793537--1.11801926) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dl = 534.463189999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11793537--1.11801926) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dr = 534.463189999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23776702-0.23795877) × cos(-1.11793537) × R
    0.000191749999999991 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 534.51590397057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23776702-0.23795877) × cos(-1.11801926) × R
    0.000191749999999991 × 0.437464455397821 × 6371000     		du = 534.423749193826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11793537)-sin(-1.11801926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437464455397821)×R²
    abs(0.23795877-0.23776702)×7.54353437343869e-05×R²
    0.000191749999999991×7.54353437343869e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.54353437343869e-05×40589641000000     		ar = 285654.448642057m²