Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17621 / 23837
↖ ↑ ↗
← S 63.059937°
E 13.590088°		 ← 553.47 m → S 63.059937°
E 13.601074°		 →
↑
553.45 m
↓
↑
553.45 m
↓
S 63.064914°
E 13.590088°		 ← 553.38 m →
306 293 m²		 S 63.064914°
E 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537765502929688 y=0.727462768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537765502929688 × 215)
    floor (0.537765502929688 × 32768)
    floor (17621.5)     		tx = 17621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727462768554688 × 215)
    floor (0.727462768554688 × 32768)
    floor (23837.5)     		ty = 23837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17621 / 23837 ti = "15/17621/23837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17621/23837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17621 ÷ 215
    17621 ÷ 32768     		x = 0.537750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23837 ÷ 215
    23837 ÷ 32768     		y = 0.727447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537750244140625 × 2 - 1) × π
    0.07550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23719178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42909485147311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23719178} λ = 0.23719178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42909485147311))-π/2
    2×atan(0.239525630423944)-π/2
    2×0.235096398445196-π/2
    0.470192796890391-1.57079632675     		φ = -1.10060353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23719178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10060353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.059937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17621 KachelY 23837 0.23719178 -1.10060353 13.590088 -63.059937
    Oben rechts KachelX + 1 17622 KachelY 23837 0.23738353 -1.10060353 13.601074 -63.059937
    Unten links KachelX 17621 KachelY + 1 23838 0.23719178 -1.10069040 13.590088 -63.064914
    Unten rechts KachelX + 1 17622 KachelY + 1 23838 0.23738353 -1.10069040 13.601074 -63.064914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10060353--1.10069040) × R
    8.68699999998501e-05 × 6371000     		dl = 553.448769999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10060353--1.10069040) × R
    8.68699999998501e-05 × 6371000     		dr = 553.448769999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23719178-0.23738353) × cos(-1.10060353) × R
    0.000191750000000018 × 0.45305816846937 × 6371000     		do = 553.473641135348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23719178-0.23738353) × cos(-1.10069040) × R
    0.000191750000000018 × 0.45298072380929 × 6371000     		du = 553.37903169889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10060353)-sin(-1.10069040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45305816846937-0.45298072380929)×R²
    abs(0.23738353-0.23719178)×7.74446600808609e-05×R²
    0.000191750000000018×7.74446600808609e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.74446600808609e-05×40589641000000     		ar = 306293.125368182m²