Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17620 / 51565
↖ ↑ ↗
← S 71.267303°
W 83.210449°		 ← 196.16 m → S 71.267303°
W 83.204956°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
S 71.269067°
W 83.210449°		 ← 196.14 m →
38 464 m²		 S 71.269067°
W 83.204956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268867492675781 y=0.786827087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268867492675781 × 216)
    floor (0.268867492675781 × 65536)
    floor (17620.5)     		tx = 17620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786827087402344 × 216)
    floor (0.786827087402344 × 65536)
    floor (51565.5)     		ty = 51565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17620 / 51565 ti = "16/17620/51565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17620/51565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17620 ÷ 216
    17620 ÷ 65536     		x = 0.26885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51565 ÷ 216
    51565 ÷ 65536     		y = 0.786819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.4622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45229631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786819458007812 × 2 - 1) × π
    -0.573638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80213980431639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45229631} λ = -1.45229631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80213980431639))-π/2
    2×atan(0.164945559109472)-π/2
    2×0.16347362033814-π/2
    0.326947240676281-1.57079632675     		φ = -1.24384909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45229631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.210449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24384909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.267303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17620 KachelY 51565 -1.45229631 -1.24384909 -83.210449 -71.267303
    Oben rechts KachelX + 1 17621 KachelY 51565 -1.45220044 -1.24384909 -83.204956 -71.267303
    Unten links KachelX 17620 KachelY + 1 51566 -1.45229631 -1.24387987 -83.210449 -71.269067
    Unten rechts KachelX + 1 17621 KachelY + 1 51566 -1.45220044 -1.24387987 -83.204956 -71.269067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24384909--1.24387987) × R
    3.0779999999897e-05 × 6371000     		dl = 196.099379999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24384909--1.24387987) × R
    3.0779999999897e-05 × 6371000     		dr = 196.099379999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45229631--1.45220044) × cos(-1.24384909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321153479687698 × 6371000     		do = 196.156617686185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45229631--1.45220044) × cos(-1.24387987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321124330039575 × 6371000     		du = 196.138813437612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24384909)-sin(-1.24387987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321153479687698-0.321124330039575)×R²
    abs(-1.45220044--1.45229631)×2.91496481233389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91496481233389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91496481233389e-05×40589641000000     		ar = 38464.4454130267m²