Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1762 / 2730
↖ ↑ ↗
← S 51.289406°
W 25.136719°		 ← 6 111.94 m → S 51.289406°
W 25.048828°		 →
↑
6 108.26 m
↓
↑
6 108.26 m
↓
S 51.344339°
W 25.136719°		 ← 6 104.62 m →
37 310 971 m²		 S 51.344339°
W 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4302978515625 y=0.6666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4302978515625 × 212)
    floor (0.4302978515625 × 4096)
    floor (1762.5)     		tx = 1762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6666259765625 × 212)
    floor (0.6666259765625 × 4096)
    floor (2730.5)     		ty = 2730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1762 / 2730 ti = "12/1762/2730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1762/2730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1762 ÷ 212
    1762 ÷ 4096     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2730 ÷ 212
    2730 ÷ 4096     		y = 0.66650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04617489730811))-π/2
    2×atan(0.351278860245987)-π/2
    2×0.337813661209687-π/2
    0.675627322419374-1.57079632675     		φ = -0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1762 KachelY 2730 -0.43871851 -0.89516900 -25.136719 -51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 1763 KachelY 2730 -0.43718452 -0.89516900 -25.048828 -51.289406
    Unten links KachelX 1762 KachelY + 1 2731 -0.43871851 -0.89612776 -25.136719 -51.344339
    Unten rechts KachelX + 1 1763 KachelY + 1 2731 -0.43718452 -0.89612776 -25.048828 -51.344339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89516900--0.89612776) × R
    0.000958760000000058 × 6371000     		dl = 6108.25996000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89516900--0.89612776) × R
    0.000958760000000058 × 6371000     		dr = 6108.25996000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43718452) × cos(-0.89516900) × R
    0.00153398999999999 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 6111.93813382039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43718452) × cos(-0.89612776) × R
    0.00153398999999999 × 0.624638530203526 × 6371000     		du = 6104.62376875069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89516900)-sin(-0.89612776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.624638530203526)×R²
    abs(-0.43718452--0.43871851)×0.00074842192075808×R²
    0.00153398999999999×0.00074842192075808×6371000²
    0.00153398999999999×0.00074842192075808×40589641000000     		ar = 37310970.8172534m²