Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1762 / 2352
↖ ↑ ↗
← N 60.586967°
W102.568359°		 ← 2 399.77 m → N 60.586967°
W102.524414°		 →
↑
2 400.53 m
↓
↑
2 400.53 m
↓
N 60.565379°
W102.568359°		 ← 2 401.37 m →
5 762 633 m²		 N 60.565379°
W102.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21514892578125 y=0.28717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21514892578125 × 213)
    floor (0.21514892578125 × 8192)
    floor (1762.5)     		tx = 1762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28717041015625 × 213)
    floor (0.28717041015625 × 8192)
    floor (2352.5)     		ty = 2352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1762 / 2352 ti = "13/1762/2352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1762/2352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1762 ÷ 213
    1762 ÷ 8192     		x = 0.215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2352 ÷ 213
    2352 ÷ 8192     		y = 0.287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.79015558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287109375 × 2 - 1) × π
    0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79015558} λ = -1.79015558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33763124699805))-π/2
    2×atan(3.81000784045252)-π/2
    2×1.31411919534841-π/2
    2.62823839069681-1.57079632675     		φ = 1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79015558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1762 KachelY 2352 -1.79015558 1.05744206 -102.568359 60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 1763 KachelY 2352 -1.78938859 1.05744206 -102.524414 60.586967
    Unten links KachelX 1762 KachelY + 1 2353 -1.79015558 1.05706527 -102.568359 60.565379
    Unten rechts KachelX + 1 1763 KachelY + 1 2353 -1.78938859 1.05706527 -102.524414 60.565379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05744206-1.05706527) × R
    0.000376790000000016 × 6371000     		dl = 2400.5290900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05744206-1.05706527) × R
    0.000376790000000016 × 6371000     		dr = 2400.5290900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79015558--1.78938859) × cos(1.05744206) × R
    0.000766990000000023 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 2399.76620283264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79015558--1.78938859) × cos(1.05706527) × R
    0.000766990000000023 × 0.491430100752167 × 6371000     		du = 2401.36988982956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05744206)-sin(1.05706527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.491430100752167)×R²
    abs(-1.78938859--1.79015558)×0.000328187700614935×R²
    0.000766990000000023×0.000328187700614935×6371000²
    0.000766990000000023×0.000328187700614935×40589641000000     		ar = 5762633.49591705m²