Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17619 / 23834
↖ ↑ ↗
← S 63.045001°
E 13.568115°		 ← 553.76 m → S 63.045001°
E 13.579101°		 →
↑
553.70 m
↓
↑
553.70 m
↓
S 63.049980°
E 13.568115°		 ← 553.66 m →
306 591 m²		 S 63.049980°
E 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537704467773438 y=0.727371215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537704467773438 × 215)
    floor (0.537704467773438 × 32768)
    floor (17619.5)     		tx = 17619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727371215820312 × 215)
    floor (0.727371215820312 × 32768)
    floor (23834.5)     		ty = 23834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17619 / 23834 ti = "15/17619/23834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17619/23834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17619 ÷ 215
    17619 ÷ 32768     		x = 0.537689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23834 ÷ 215
    23834 ÷ 32768     		y = 0.72735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537689208984375 × 2 - 1) × π
    0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.4547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42851960867767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23680828} λ = 0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42851960867767))-π/2
    2×atan(0.239663455454796)-π/2
    2×0.235226741085578-π/2
    0.470453482171155-1.57079632675     		φ = -1.10034284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10034284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17619 KachelY 23834 0.23680828 -1.10034284 13.568115 -63.045001
    Oben rechts KachelX + 1 17620 KachelY 23834 0.23700003 -1.10034284 13.579101 -63.045001
    Unten links KachelX 17619 KachelY + 1 23835 0.23680828 -1.10042975 13.568115 -63.049980
    Unten rechts KachelX + 1 17620 KachelY + 1 23835 0.23700003 -1.10042975 13.579101 -63.049980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10034284--1.10042975) × R
    8.69100000000511e-05 × 6371000     		dl = 553.703610000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10034284--1.10042975) × R
    8.69100000000511e-05 × 6371000     		dr = 553.703610000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23680828-0.23700003) × cos(-1.10034284) × R
    0.000191749999999991 × 0.453290553242562 × 6371000     		do = 553.757531495301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23680828-0.23700003) × cos(-1.10042975) × R
    0.000191749999999991 × 0.453213083188167 × 6371000     		du = 553.662891036152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10034284)-sin(-1.10042975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453290553242562-0.453213083188167)×R²
    abs(0.23700003-0.23680828)×7.74700543957341e-05×R²
    0.000191749999999991×7.74700543957341e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.74700543957341e-05×40589641000000     		ar = 306591.343064994m²