Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17617 / 23803
↖ ↑ ↗
← S 62.890212°
E 13.546143°		 ← 556.70 m → S 62.890212°
E 13.557129°		 →
↑
556.63 m
↓
↑
556.63 m
↓
S 62.895218°
E 13.546143°		 ← 556.60 m →
309 850 m²		 S 62.895218°
E 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537643432617188 y=0.726425170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537643432617188 × 215)
    floor (0.537643432617188 × 32768)
    floor (17617.5)     		tx = 17617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726425170898438 × 215)
    floor (0.726425170898438 × 32768)
    floor (23803.5)     		ty = 23803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17617 / 23803 ti = "15/17617/23803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17617/23803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17617 ÷ 215
    17617 ÷ 32768     		x = 0.537628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23803 ÷ 215
    23803 ÷ 32768     		y = 0.726409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537628173828125 × 2 - 1) × π
    0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.45281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42257543312479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23642479} λ = 0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42257543312479))-π/2
    2×atan(0.241092299550566)-π/2
    2×0.236577534121532-π/2
    0.473155068243063-1.57079632675     		φ = -1.09764126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09764126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.890212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17617 KachelY 23803 0.23642479 -1.09764126 13.546143 -62.890212
    Oben rechts KachelX + 1 17618 KachelY 23803 0.23661654 -1.09764126 13.557129 -62.890212
    Unten links KachelX 17617 KachelY + 1 23804 0.23642479 -1.09772863 13.546143 -62.895218
    Unten rechts KachelX + 1 17618 KachelY + 1 23804 0.23661654 -1.09772863 13.557129 -62.895218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09764126--1.09772863) × R
    8.736999999992e-05 × 6371000     		dl = 556.63426999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09764126--1.09772863) × R
    8.736999999992e-05 × 6371000     		dr = 556.63426999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23642479-0.23661654) × cos(-1.09764126) × R
    0.000191749999999991 × 0.455696984099358 × 6371000     		do = 556.697321882374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23642479-0.23661654) × cos(-1.09772863) × R
    0.000191749999999991 × 0.455619211268144 × 6371000     		du = 556.602311539179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09764126)-sin(-1.09772863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455696984099358-0.455619211268144)×R²
    abs(0.23661654-0.23642479)×7.7772831214129e-05×R²
    0.000191749999999991×7.7772831214129e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.7772831214129e-05×40589641000000     		ar = 309850.364566731m²