Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17614 / 23875
↖ ↑ ↗
← S 63.248467°
E 13.513184°		 ← 549.86 m → S 63.248467°
E 13.524170°		 →
↑
549.82 m
↓
↑
549.82 m
↓
S 63.253411°
E 13.513184°		 ← 549.76 m →
302 296 m²		 S 63.253411°
E 13.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537551879882812 y=0.728622436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537551879882812 × 215)
    floor (0.537551879882812 × 32768)
    floor (17614.5)     		tx = 17614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728622436523438 × 215)
    floor (0.728622436523438 × 32768)
    floor (23875.5)     		ty = 23875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17614 / 23875 ti = "15/17614/23875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17614/23875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17614 ÷ 215
    17614 ÷ 32768     		x = 0.53753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23875 ÷ 215
    23875 ÷ 32768     		y = 0.728607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53753662109375 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.45721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43638126021536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23584955} λ = 0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43638126021536))-π/2
    2×atan(0.237786691778904)-π/2
    2×0.233451167173388-π/2
    0.466902334346775-1.57079632675     		φ = -1.10389399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10389399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.248467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17614 KachelY 23875 0.23584955 -1.10389399 13.513184 -63.248467
    Oben rechts KachelX + 1 17615 KachelY 23875 0.23604129 -1.10389399 13.524170 -63.248467
    Unten links KachelX 17614 KachelY + 1 23876 0.23584955 -1.10398029 13.513184 -63.253411
    Unten rechts KachelX + 1 17615 KachelY + 1 23876 0.23604129 -1.10398029 13.524170 -63.253411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10389399--1.10398029) × R
    8.62999999999836e-05 × 6371000     		dl = 549.817299999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10389399--1.10398029) × R
    8.62999999999836e-05 × 6371000     		dr = 549.817299999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23584955-0.23604129) × cos(-1.10389399) × R
    0.000191739999999996 × 0.450122338677305 × 6371000     		do = 549.85843893578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23584955-0.23604129) × cos(-1.10398029) × R
    0.000191739999999996 × 0.450045273957952 × 6371000     		du = 549.764298559621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10389399)-sin(-1.10398029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450122338677305-0.450045273957952)×R²
    abs(0.23604129-0.23584955)×7.70647193537033e-05×R²
    0.000191739999999996×7.70647193537033e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.70647193537033e-05×40589641000000     		ar = 302295.802461429m²