Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1761 / 2785
↖ ↑ ↗
← S 54.213861°
W 25.224610°		 ← 5 714.87 m → S 54.213861°
W 25.136719°		 →
↑
5 711.35 m
↓
↑
5 711.35 m
↓
S 54.265224°
W 25.224610°		 ← 5 707.76 m →
32 619 280 m²		 S 54.265224°
W 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4300537109375 y=0.6800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4300537109375 × 212)
    floor (0.4300537109375 × 4096)
    floor (1761.5)     		tx = 1761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6800537109375 × 212)
    floor (0.6800537109375 × 4096)
    floor (2785.5)     		ty = 2785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1761 / 2785 ti = "12/1761/2785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1761/2785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1761 ÷ 212
    1761 ÷ 4096     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2785 ÷ 212
    2785 ÷ 4096     		y = 0.679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1305438406394))-π/2
    2×atan(0.322857625571457)-π/2
    2×0.312292976066995-π/2
    0.624585952133991-1.57079632675     		φ = -0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1761 KachelY 2785 -0.44025249 -0.94621037 -25.224610 -54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 1762 KachelY 2785 -0.43871851 -0.94621037 -25.136719 -54.213861
    Unten links KachelX 1761 KachelY + 1 2786 -0.44025249 -0.94710683 -25.224610 -54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 1762 KachelY + 1 2786 -0.43871851 -0.94710683 -25.136719 -54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94621037--0.94710683) × R
    0.000896459999999988 × 6371000     		dl = 5711.34665999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94621037--0.94710683) × R
    0.000896459999999988 × 6371000     		dr = 5711.34665999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.43871851) × cos(-0.94621037) × R
    0.00153397999999999 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 5714.86579385884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.43871851) × cos(-0.94710683) × R
    0.00153397999999999 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 5707.75645451477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94621037)-sin(-0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.584034001048921)×R²
    abs(-0.43871851--0.44025249)×0.00072744797978308×R²
    0.00153397999999999×0.00072744797978308×6371000²
    0.00153397999999999×0.00072744797978308×40589641000000     		ar = 32619279.8978592m²