Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1761 / 2729
↖ ↑ ↗
← S 51.234407°
W 25.224610°		 ← 6 119.22 m → S 51.234407°
W 25.136719°		 →
↑
6 115.52 m
↓
↑
6 115.52 m
↓
S 51.289406°
W 25.224610°		 ← 6 111.90 m →
37 399 832 m²		 S 51.289406°
W 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4300537109375 y=0.6663818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4300537109375 × 212)
    floor (0.4300537109375 × 4096)
    floor (1761.5)     		tx = 1761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6663818359375 × 212)
    floor (0.6663818359375 × 4096)
    floor (2729.5)     		ty = 2729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1761 / 2729 ti = "12/1761/2729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1761/2729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1761 ÷ 212
    1761 ÷ 4096     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2729 ÷ 212
    2729 ÷ 4096     		y = 0.666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04464091652026))-π/2
    2×atan(0.351818128776816)-π/2
    2×0.33829361410979-π/2
    0.67658722821958-1.57079632675     		φ = -0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1761 KachelY 2729 -0.44025249 -0.89420910 -25.224610 -51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 1762 KachelY 2729 -0.43871851 -0.89420910 -25.136719 -51.234407
    Unten links KachelX 1761 KachelY + 1 2730 -0.44025249 -0.89516900 -25.224610 -51.289406
    Unten rechts KachelX + 1 1762 KachelY + 1 2730 -0.43871851 -0.89516900 -25.136719 -51.289406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89420910--0.89516900) × R
    0.000959900000000014 × 6371000     		dl = 6115.52290000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89420910--0.89516900) × R
    0.000959900000000014 × 6371000     		dr = 6115.52290000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.43871851) × cos(-0.89420910) × R
    0.00153397999999999 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 6119.21567658075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.43871851) × cos(-0.89516900) × R
    0.00153397999999999 × 0.625386952124284 × 6371000     		du = 6111.8982904177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89420910)-sin(-0.89516900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.625386952124284)×R²
    abs(-0.43871851--0.44025249)×0.000748735926643929×R²
    0.00153397999999999×0.000748735926643929×6371000²
    0.00153397999999999×0.000748735926643929×40589641000000     		ar = 37399831.6505518m²