Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17607 / 23881
↖ ↑ ↗
← S 63.278123°
E 13.436279°		 ← 549.32 m → S 63.278123°
E 13.447266°		 →
↑
549.24 m
↓
↑
549.24 m
↓
S 63.283062°
E 13.436279°		 ← 549.23 m →
301 686 m²		 S 63.283062°
E 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537338256835938 y=0.728805541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537338256835938 × 215)
    floor (0.537338256835938 × 32768)
    floor (17607.5)     		tx = 17607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728805541992188 × 215)
    floor (0.728805541992188 × 32768)
    floor (23881.5)     		ty = 23881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17607 / 23881 ti = "15/17607/23881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17607/23881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17607 ÷ 215
    17607 ÷ 32768     		x = 0.537322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23881 ÷ 215
    23881 ÷ 32768     		y = 0.728790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537322998046875 × 2 - 1) × π
    0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.45758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43753174580624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23450731} λ = 0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43753174580624))-π/2
    2×atan(0.237513278925241)-π/2
    2×0.233192370513379-π/2
    0.466384741026758-1.57079632675     		φ = -1.10441159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10441159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.278123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17607 KachelY 23881 0.23450731 -1.10441159 13.436279 -63.278123
    Oben rechts KachelX + 1 17608 KachelY 23881 0.23469906 -1.10441159 13.447266 -63.278123
    Unten links KachelX 17607 KachelY + 1 23882 0.23450731 -1.10449780 13.436279 -63.283062
    Unten rechts KachelX + 1 17608 KachelY + 1 23882 0.23469906 -1.10449780 13.447266 -63.283062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10441159--1.10449780) × R
    8.62100000000865e-05 × 6371000     		dl = 549.243910000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10441159--1.10449780) × R
    8.62100000000865e-05 × 6371000     		dr = 549.243910000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23450731-0.23469906) × cos(-1.10441159) × R
    0.000191749999999991 × 0.449660078735659 × 6371000     		do = 549.322401341544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23450731-0.23469906) × cos(-1.10449780) × R
    0.000191749999999991 × 0.449583074313359 × 6371000     		du = 549.228329716839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10441159)-sin(-1.10449780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449660078735659-0.449583074313359)×R²
    abs(0.23469906-0.23450731)×7.7004422300353e-05×R²
    0.000191749999999991×7.7004422300353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.7004422300353e-05×40589641000000     		ar = 301686.149617465m²