Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17607 / 23880
↖ ↑ ↗
← S 63.273182°
E 13.436279°		 ← 549.42 m → S 63.273182°
E 13.447266°		 →
↑
549.37 m
↓
↑
549.37 m
↓
S 63.278123°
E 13.436279°		 ← 549.32 m →
301 808 m²		 S 63.278123°
E 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537338256835938 y=0.728775024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537338256835938 × 215)
    floor (0.537338256835938 × 32768)
    floor (17607.5)     		tx = 17607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728775024414062 × 215)
    floor (0.728775024414062 × 32768)
    floor (23880.5)     		ty = 23880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17607 / 23880 ti = "15/17607/23880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17607/23880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17607 ÷ 215
    17607 ÷ 32768     		x = 0.537322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23880 ÷ 215
    23880 ÷ 32768     		y = 0.728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537322998046875 × 2 - 1) × π
    0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23450731} λ = 0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43733999820776))-π/2
    2×atan(0.237558825892704)-π/2
    2×0.233235484825768-π/2
    0.466470969651536-1.57079632675     		φ = -1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17607 KachelY 23880 0.23450731 -1.10432536 13.436279 -63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 17608 KachelY 23880 0.23469906 -1.10432536 13.447266 -63.273182
    Unten links KachelX 17607 KachelY + 1 23881 0.23450731 -1.10441159 13.436279 -63.278123
    Unten rechts KachelX + 1 17608 KachelY + 1 23881 0.23469906 -1.10441159 13.447266 -63.278123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10432536--1.10441159) × R
    8.62299999999649e-05 × 6371000     		dl = 549.371329999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10432536--1.10441159) × R
    8.62299999999649e-05 × 6371000     		dr = 549.371329999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23450731-0.23469906) × cos(-1.10432536) × R
    0.000191749999999991 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 549.416490706006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23450731-0.23469906) × cos(-1.10441159) × R
    0.000191749999999991 × 0.449660078735659 × 6371000     		du = 549.322401341544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10432536)-sin(-1.10441159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449660078735659)×R²
    abs(0.23469906-0.23450731)×7.70189435725377e-05×R²
    0.000191749999999991×7.70189435725377e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.70189435725377e-05×40589641000000     		ar = 301807.823410483m²