Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17606 / 23866
↖ ↑ ↗
← S 63.203925°
E 13.425293°		 ← 550.71 m → S 63.203925°
E 13.436279°		 →
↑
550.71 m
↓
↑
550.71 m
↓
S 63.208878°
E 13.425293°		 ← 550.61 m →
303 253 m²		 S 63.208878°
E 13.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537307739257812 y=0.728347778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537307739257812 × 215)
    floor (0.537307739257812 × 32768)
    floor (17606.5)     		tx = 17606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728347778320312 × 215)
    floor (0.728347778320312 × 32768)
    floor (23866.5)     		ty = 23866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17606 / 23866 ti = "15/17606/23866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17606/23866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17606 ÷ 215
    17606 ÷ 32768     		x = 0.53729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23866 ÷ 215
    23866 ÷ 32768     		y = 0.72833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53729248046875 × 2 - 1) × π
    0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.4566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43465553182904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23431557} λ = 0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43465553182904))-π/2
    2×atan(0.238197401307413)-π/2
    2×0.233839860996215-π/2
    0.467679721992429-1.57079632675     		φ = -1.10311660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10311660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.203925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17606 KachelY 23866 0.23431557 -1.10311660 13.425293 -63.203925
    Oben rechts KachelX + 1 17607 KachelY 23866 0.23450731 -1.10311660 13.436279 -63.203925
    Unten links KachelX 17606 KachelY + 1 23867 0.23431557 -1.10320304 13.425293 -63.208878
    Unten rechts KachelX + 1 17607 KachelY + 1 23867 0.23450731 -1.10320304 13.436279 -63.208878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10311660--1.10320304) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dl = 550.709240000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10311660--1.10320304) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dr = 550.709240000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23431557-0.23450731) × cos(-1.10311660) × R
    0.000191739999999996 × 0.450816386131534 × 6371000     		do = 550.706270329466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23431557-0.23450731) × cos(-1.10320304) × R
    0.000191739999999996 × 0.450739226659237 × 6371000     		du = 550.612014205428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10311660)-sin(-1.10320304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450816386131534-0.450739226659237)×R²
    abs(0.23450731-0.23431557)×7.71594722969171e-05×R²
    0.000191739999999996×7.71594722969171e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.71594722969171e-05×40589641000000     		ar = 303253.077925543m²