Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17604 / 23868
↖ ↑ ↗
← S 63.213830°
E 13.403320°		 ← 550.55 m → S 63.213830°
E 13.414307°		 →
↑
550.52 m
↓
↑
550.52 m
↓
S 63.218781°
E 13.403320°		 ← 550.45 m →
303 060 m²		 S 63.218781°
E 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537246704101562 y=0.728408813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537246704101562 × 215)
    floor (0.537246704101562 × 32768)
    floor (17604.5)     		tx = 17604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728408813476562 × 215)
    floor (0.728408813476562 × 32768)
    floor (23868.5)     		ty = 23868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17604 / 23868 ti = "15/17604/23868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17604/23868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17604 ÷ 215
    17604 ÷ 32768     		x = 0.5372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23868 ÷ 215
    23868 ÷ 32768     		y = 0.7283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5372314453125 × 2 - 1) × π
    0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.435039027026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23393207} λ = 0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.435039027026))-π/2
    2×atan(0.23810607126152)-π/2
    2×0.23375343283171-π/2
    0.467506865663419-1.57079632675     		φ = -1.10328946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10328946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.213830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17604 KachelY 23868 0.23393207 -1.10328946 13.403320 -63.213830
    Oben rechts KachelX + 1 17605 KachelY 23868 0.23412382 -1.10328946 13.414307 -63.213830
    Unten links KachelX 17604 KachelY + 1 23869 0.23393207 -1.10337587 13.403320 -63.218781
    Unten rechts KachelX + 1 17605 KachelY + 1 23869 0.23412382 -1.10337587 13.414307 -63.218781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10328946--1.10337587) × R
    8.64099999999812e-05 × 6371000     		dl = 550.51810999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10328946--1.10337587) × R
    8.64099999999812e-05 × 6371000     		dr = 550.51810999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23393207-0.23412382) × cos(-1.10328946) × R
    0.000191750000000018 × 0.450662081672966 × 6371000     		do = 550.546487458454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23393207-0.23412382) × cos(-1.10337587) × R
    0.000191750000000018 × 0.450584942248299 × 6371000     		du = 550.452250909558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10328946)-sin(-1.10337587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450662081672966-0.450584942248299)×R²
    abs(0.23412382-0.23393207)×7.71394246673607e-05×R²
    0.000191750000000018×7.71394246673607e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.71394246673607e-05×40589641000000     		ar = 303059.872468002m²