Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17600 / 12864
↖ ↑ ↗
← N 80.844901°
W131.660156°		 ← 48.60 m → N 80.844901°
W131.657409°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
N 80.844465°
W131.660156°		 ← 48.60 m →
2 359 m²		 N 80.844465°
W131.657409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134281158447266 y=0.0981483459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134281158447266 × 217)
    floor (0.134281158447266 × 131072)
    floor (17600.5)     		tx = 17600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0981483459472656 × 217)
    floor (0.0981483459472656 × 131072)
    floor (12864.5)     		ty = 12864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17600 / 12864 ti = "17/17600/12864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17600/12864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17600 ÷ 217
    17600 ÷ 131072     		x = 0.13427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12864 ÷ 217
    12864 ÷ 131072     		y = 0.09814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29790322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09814453125 × 2 - 1) × π
    0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29790322} λ = -2.29790322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5249323767876))-π/2
    2×atan(12.4900506177025)-π/2
    2×1.49090301989113-π/2
    2.98180603978225-1.57079632675     		φ = 1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29790322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17600 KachelY 12864 -2.29790322 1.41100971 -131.660156 80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 17601 KachelY 12864 -2.29785528 1.41100971 -131.657409 80.844901
    Unten links KachelX 17600 KachelY + 1 12865 -2.29790322 1.41100209 -131.660156 80.844465
    Unten rechts KachelX + 1 17601 KachelY + 1 12865 -2.29785528 1.41100209 -131.657409 80.844465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41100971-1.41100209) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41100971-1.41100209) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29790322--2.29785528) × cos(1.41100971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 48.5955397526893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29790322--2.29785528) × cos(1.41100209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15911506819304 × 6371000     		du = 48.5978374479778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41100971)-sin(1.41100209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.15911506819304)×R²
    abs(-2.29785528--2.29790322)×7.5229261570775e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5229261570775e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5229261570775e-06×40589641000000     		ar = 2359.22441347894m²