Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17597 / 23884
↖ ↑ ↗
← S 63.292939°
E 13.326416°		 ← 549.01 m → S 63.292939°
E 13.337402°		 →
↑
548.99 m
↓
↑
548.99 m
↓
S 63.297876°
E 13.326416°		 ← 548.92 m →
301 376 m²		 S 63.297876°
E 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537033081054688 y=0.728897094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537033081054688 × 215)
    floor (0.537033081054688 × 32768)
    floor (17597.5)     		tx = 17597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728897094726562 × 215)
    floor (0.728897094726562 × 32768)
    floor (23884.5)     		ty = 23884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17597 / 23884 ti = "15/17597/23884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17597/23884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17597 ÷ 215
    17597 ÷ 32768     		x = 0.537017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23884 ÷ 215
    23884 ÷ 32768     		y = 0.7288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537017822265625 × 2 - 1) × π
    0.07403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23258984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23258984} λ = 0.23258984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43810698860168))-π/2
    2×atan(0.237376690412264)-π/2
    2×0.233063071873488-π/2
    0.466126143746977-1.57079632675     		φ = -1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23258984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.326416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17597 KachelY 23884 0.23258984 -1.10467018 13.326416 -63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 17598 KachelY 23884 0.23278158 -1.10467018 13.337402 -63.292939
    Unten links KachelX 17597 KachelY + 1 23885 0.23258984 -1.10475635 13.326416 -63.297876
    Unten rechts KachelX + 1 17598 KachelY + 1 23885 0.23278158 -1.10475635 13.337402 -63.297876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10467018--1.10475635) × R
    8.61699999998855e-05 × 6371000     		dl = 548.989069999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10467018--1.10475635) × R
    8.61699999998855e-05 × 6371000     		dr = 548.989069999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23258984-0.23278158) × cos(-1.10467018) × R
    0.000191739999999996 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 549.011584747274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23258984-0.23278158) × cos(-1.10475635) × R
    0.000191739999999996 × 0.449352112468876 × 6371000     		du = 548.917549439296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10467018)-sin(-1.10475635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449352112468876)×R²
    abs(0.23278158-0.23258984)×7.6978708969333e-05×R²
    0.000191739999999996×7.6978708969333e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.6978708969333e-05×40589641000000     		ar = 301375.547336906m²