Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17593 / 23993
↖ ↑ ↗
← S 63.826134°
E 13.282471°		 ← 538.83 m → S 63.826134°
E 13.293457°		 →
↑
538.80 m
↓
↑
538.80 m
↓
S 63.830980°
E 13.282471°		 ← 538.74 m →
290 296 m²		 S 63.830980°
E 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536911010742188 y=0.732223510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536911010742188 × 215)
    floor (0.536911010742188 × 32768)
    floor (17593.5)     		tx = 17593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732223510742188 × 215)
    floor (0.732223510742188 × 32768)
    floor (23993.5)     		ty = 23993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17593 / 23993 ti = "15/17593/23993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17593/23993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17593 ÷ 215
    17593 ÷ 32768     		x = 0.536895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23993 ÷ 215
    23993 ÷ 32768     		y = 0.732208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536895751953125 × 2 - 1) × π
    0.07379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23182285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.46441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45900747683603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23182285} λ = 0.23182285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45900747683603))-π/2
    2×atan(0.232466889038032)-π/2
    2×0.228410068966014-π/2
    0.456820137932028-1.57079632675     		φ = -1.11397619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23182285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.282471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11397619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.826134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17593 KachelY 23993 0.23182285 -1.11397619 13.282471 -63.826134
    Oben rechts KachelX + 1 17594 KachelY 23993 0.23201459 -1.11397619 13.293457 -63.826134
    Unten links KachelX 17593 KachelY + 1 23994 0.23182285 -1.11406076 13.282471 -63.830980
    Unten rechts KachelX + 1 17594 KachelY + 1 23994 0.23201459 -1.11406076 13.293457 -63.830980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11397619--1.11406076) × R
    8.45700000000615e-05 × 6371000     		dl = 538.795470000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11397619--1.11406076) × R
    8.45700000000615e-05 × 6371000     		dr = 538.795470000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23182285-0.23201459) × cos(-1.11397619) × R
    0.000191739999999996 × 0.441096542905223 × 6371000     		do = 538.832747591569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23182285-0.23201459) × cos(-1.11406076) × R
    0.000191739999999996 × 0.441020643164557 × 6371000     		du = 538.740030324879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11397619)-sin(-1.11406076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441096542905223-0.441020643164557)×R²
    abs(0.23201459-0.23182285)×7.58997406655193e-05×R²
    0.000191739999999996×7.58997406655193e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.58997406655193e-05×40589641000000     		ar = 290295.665841353m²