Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17591 / 11209
↖ ↑ ↗
← N 75.572625°
W 83.369751°		 ← 152.18 m → N 75.572625°
W 83.364258°		 →
↑
152.20 m
↓
↑
152.20 m
↓
N 75.571256°
W 83.369751°		 ← 152.19 m →
23 163 m²		 N 75.571256°
W 83.364258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268424987792969 y=0.171043395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268424987792969 × 216)
    floor (0.268424987792969 × 65536)
    floor (17591.5)     		tx = 17591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171043395996094 × 216)
    floor (0.171043395996094 × 65536)
    floor (11209.5)     		ty = 11209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17591 / 11209 ti = "16/17591/11209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17591/11209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17591 ÷ 216
    17591 ÷ 65536     		x = 0.268417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11209 ÷ 216
    11209 ÷ 65536     		y = 0.171035766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268417358398438 × 2 - 1) × π
    -0.463165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45507665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171035766601562 × 2 - 1) × π
    0.657928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06694323781758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45507665} λ = -1.45507665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06694323781758))-π/2
    2×atan(7.90063580450629)-π/2
    2×1.44489372719563-π/2
    2.88978745439125-1.57079632675     		φ = 1.31899113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45507665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.369751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31899113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.572625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17591 KachelY 11209 -1.45507665 1.31899113 -83.369751 75.572625
    Oben rechts KachelX + 1 17592 KachelY 11209 -1.45498078 1.31899113 -83.364258 75.572625
    Unten links KachelX 17591 KachelY + 1 11210 -1.45507665 1.31896724 -83.369751 75.571256
    Unten rechts KachelX + 1 17592 KachelY + 1 11210 -1.45498078 1.31896724 -83.364258 75.571256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31899113-1.31896724) × R
    2.38899999998043e-05 × 6371000     		dl = 152.203189998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31899113-1.31896724) × R
    2.38899999998043e-05 × 6371000     		dr = 152.203189998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45507665--1.45498078) × cos(1.31899113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249152632790848 × 6371000     		do = 152.179380971948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45507665--1.45498078) × cos(1.31896724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24917576933021 × 6371000     		du = 152.19351248723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31899113)-sin(1.31896724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249152632790848-0.24917576933021)×R²
    abs(-1.45498078--1.45507665)×2.3136539362284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3136539362284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3136539362284e-05×40589641000000     		ar = 23163.2626675521m²