Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17589 / 23999
↖ ↑ ↗
← S 63.855195°
E 13.238526°		 ← 538.28 m → S 63.855195°
E 13.249512°		 →
↑
538.29 m
↓
↑
538.29 m
↓
S 63.860036°
E 13.238526°		 ← 538.18 m →
289 722 m²		 S 63.860036°
E 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536788940429688 y=0.732406616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536788940429688 × 215)
    floor (0.536788940429688 × 32768)
    floor (17589.5)     		tx = 17589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732406616210938 × 215)
    floor (0.732406616210938 × 32768)
    floor (23999.5)     		ty = 23999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17589 / 23999 ti = "15/17589/23999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17589/23999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17589 ÷ 215
    17589 ÷ 32768     		x = 0.536773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23999 ÷ 215
    23999 ÷ 32768     		y = 0.732391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536773681640625 × 2 - 1) × π
    0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.46478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46015796242691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23105586} λ = 0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46015796242691))-π/2
    2×atan(0.232199593021428)-π/2
    2×0.228156462316699-π/2
    0.456312924633399-1.57079632675     		φ = -1.11448340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11448340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.855195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17589 KachelY 23999 0.23105586 -1.11448340 13.238526 -63.855195
    Oben rechts KachelX + 1 17590 KachelY 23999 0.23124760 -1.11448340 13.249512 -63.855195
    Unten links KachelX 17589 KachelY + 1 24000 0.23105586 -1.11456789 13.238526 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 17590 KachelY + 1 24000 0.23124760 -1.11456789 13.249512 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11448340--1.11456789) × R
    8.44900000001036e-05 × 6371000     		dl = 538.28579000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11448340--1.11456789) × R
    8.44900000001036e-05 × 6371000     		dr = 538.28579000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23105586-0.23124760) × cos(-1.11448340) × R
    0.000191739999999996 × 0.440641285672328 × 6371000     		do = 538.276616491457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23105586-0.23124760) × cos(-1.11456789) × R
    0.000191739999999996 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 538.183963856261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11448340)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440641285672328-0.44056543883997)×R²
    abs(0.23124760-0.23105586)×7.58468323583394e-05×R²
    0.000191739999999996×7.58468323583394e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.58468323583394e-05×40589641000000     		ar = 289721.717121052m²