Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17589 / 23996
↖ ↑ ↗
← S 63.840668°
E 13.238526°		 ← 538.55 m → S 63.840668°
E 13.249512°		 →
↑
538.54 m
↓
↑
538.54 m
↓
S 63.845512°
E 13.238526°		 ← 538.46 m →
290 009 m²		 S 63.845512°
E 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536788940429688 y=0.732315063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536788940429688 × 215)
    floor (0.536788940429688 × 32768)
    floor (17589.5)     		tx = 17589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732315063476562 × 215)
    floor (0.732315063476562 × 32768)
    floor (23996.5)     		ty = 23996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17589 / 23996 ti = "15/17589/23996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17589/23996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17589 ÷ 215
    17589 ÷ 32768     		x = 0.536773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23996 ÷ 215
    23996 ÷ 32768     		y = 0.7322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536773681640625 × 2 - 1) × π
    0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23105586} λ = 0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45958271963147))-π/2
    2×atan(0.232333202589704)-π/2
    2×0.228283232905713-π/2
    0.456566465811426-1.57079632675     		φ = -1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17589 KachelY 23996 0.23105586 -1.11422986 13.238526 -63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 17590 KachelY 23996 0.23124760 -1.11422986 13.249512 -63.840668
    Unten links KachelX 17589 KachelY + 1 23997 0.23105586 -1.11431439 13.238526 -63.845512
    Unten rechts KachelX + 1 17590 KachelY + 1 23997 0.23124760 -1.11431439 13.249512 -63.845512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11422986--1.11431439) × R
    8.45300000000826e-05 × 6371000     		dl = 538.540630000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11422986--1.11431439) × R
    8.45300000000826e-05 × 6371000     		dr = 538.540630000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23105586-0.23124760) × cos(-1.11422986) × R
    0.000191739999999996 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 538.554628090878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23105586-0.23124760) × cos(-1.11431439) × R
    0.000191739999999996 × 0.440792996828134 × 6371000     		du = 538.461943128534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11422986)-sin(-1.11431439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.440792996828134)×R²
    abs(0.23124760-0.23105586)×7.58732958450747e-05×R²
    0.000191739999999996×7.58732958450747e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.58732958450747e-05×40589641000000     		ar = 290008.591565216m²