Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17588 / 24027
↖ ↑ ↗
← S 63.990418°
E 13.227539°		 ← 535.72 m → S 63.990418°
E 13.238526°		 →
↑
535.67 m
↓
↑
535.67 m
↓
S 63.995235°
E 13.227539°		 ← 535.62 m →
286 944 m²		 S 63.995235°
E 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536758422851562 y=0.733261108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536758422851562 × 215)
    floor (0.536758422851562 × 32768)
    floor (17588.5)     		tx = 17588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733261108398438 × 215)
    floor (0.733261108398438 × 32768)
    floor (24027.5)     		ty = 24027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17588 / 24027 ti = "15/17588/24027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17588/24027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17588 ÷ 215
    17588 ÷ 32768     		x = 0.5367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24027 ÷ 215
    24027 ÷ 32768     		y = 0.733245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5367431640625 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733245849609375 × 2 - 1) × π
    -0.46649169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46552689518436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23086411} λ = 0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46552689518436))-π/2
    2×atan(0.230956269666544)-π/2
    2×0.226976422649351-π/2
    0.453952845298702-1.57079632675     		φ = -1.11684348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11684348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.990418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17588 KachelY 24027 0.23086411 -1.11684348 13.227539 -63.990418
    Oben rechts KachelX + 1 17589 KachelY 24027 0.23105586 -1.11684348 13.238526 -63.990418
    Unten links KachelX 17588 KachelY + 1 24028 0.23086411 -1.11692756 13.227539 -63.995235
    Unten rechts KachelX + 1 17589 KachelY + 1 24028 0.23105586 -1.11692756 13.238526 -63.995235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11684348--1.11692756) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dl = 535.67367999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11684348--1.11692756) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dr = 535.67367999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23086411-0.23105586) × cos(-1.11684348) × R
    0.000191749999999991 × 0.438521456121332 × 6371000     		do = 535.715022764945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23086411-0.23105586) × cos(-1.11692756) × R
    0.000191749999999991 × 0.438445890133233 × 6371000     		du = 535.622708387919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11684348)-sin(-1.11692756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438521456121332-0.438445890133233)×R²
    abs(0.23105586-0.23086411)×7.55659880987691e-05×R²
    0.000191749999999991×7.55659880987691e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.55659880987691e-05×40589641000000     		ar = 286943.71265326m²