Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17588 / 23893
↖ ↑ ↗
← S 63.337343°
E 13.227539°		 ← 548.19 m → S 63.337343°
E 13.238526°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
S 63.342272°
E 13.227539°		 ← 548.10 m →
300 438 m²		 S 63.342272°
E 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536758422851562 y=0.729171752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536758422851562 × 215)
    floor (0.536758422851562 × 32768)
    floor (17588.5)     		tx = 17588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729171752929688 × 215)
    floor (0.729171752929688 × 32768)
    floor (23893.5)     		ty = 23893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17588 / 23893 ti = "15/17588/23893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17588/23893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17588 ÷ 215
    17588 ÷ 32768     		x = 0.5367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23893 ÷ 215
    23893 ÷ 32768     		y = 0.729156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5367431640625 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.45831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43983271698801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23086411} λ = 0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43983271698801))-π/2
    2×atan(0.23696739598645)-π/2
    2×0.232675574408349-π/2
    0.465351148816699-1.57079632675     		φ = -1.10544518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10544518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.337343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17588 KachelY 23893 0.23086411 -1.10544518 13.227539 -63.337343
    Oben rechts KachelX + 1 17589 KachelY 23893 0.23105586 -1.10544518 13.238526 -63.337343
    Unten links KachelX 17588 KachelY + 1 23894 0.23086411 -1.10553121 13.227539 -63.342272
    Unten rechts KachelX + 1 17589 KachelY + 1 23894 0.23105586 -1.10553121 13.238526 -63.342272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10544518--1.10553121) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dl = 548.097130000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10544518--1.10553121) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dr = 548.097130000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23086411-0.23105586) × cos(-1.10544518) × R
    0.000191749999999991 × 0.448736636370978 × 6371000     		do = 548.194287903738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23086411-0.23105586) × cos(-1.10553121) × R
    0.000191749999999991 × 0.448659752792414 × 6371000     		du = 548.100363906483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10544518)-sin(-1.10553121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448736636370978-0.448659752792414)×R²
    abs(0.23105586-0.23086411)×7.68835785642796e-05×R²
    0.000191749999999991×7.68835785642796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.68835785642796e-05×40589641000000     		ar = 300437.976331075m²