Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17582 / 24006
↖ ↑ ↗
← S 63.889062°
E 13.161621°		 ← 537.66 m → S 63.889062°
E 13.172607°		 →
↑
537.58 m
↓
↑
537.58 m
↓
S 63.893897°
E 13.161621°		 ← 537.56 m →
289 011 m²		 S 63.893897°
E 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536575317382812 y=0.732620239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536575317382812 × 215)
    floor (0.536575317382812 × 32768)
    floor (17582.5)     		tx = 17582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732620239257812 × 215)
    floor (0.732620239257812 × 32768)
    floor (24006.5)     		ty = 24006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17582 / 24006 ti = "15/17582/24006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17582/24006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17582 ÷ 215
    17582 ÷ 32768     		x = 0.53656005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24006 ÷ 215
    24006 ÷ 32768     		y = 0.73260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53656005859375 × 2 - 1) × π
    0.0731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22971362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.4652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46150019561627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22971362} λ = 0.22971362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46150019561627))-π/2
    2×atan(0.231888136091792)-π/2
    2×0.227860918742134-π/2
    0.455721837484269-1.57079632675     		φ = -1.11507449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22971362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11507449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.889062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17582 KachelY 24006 0.22971362 -1.11507449 13.161621 -63.889062
    Oben rechts KachelX + 1 17583 KachelY 24006 0.22990537 -1.11507449 13.172607 -63.889062
    Unten links KachelX 17582 KachelY + 1 24007 0.22971362 -1.11515887 13.161621 -63.893897
    Unten rechts KachelX + 1 17583 KachelY + 1 24007 0.22990537 -1.11515887 13.172607 -63.893897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11507449--1.11515887) × R
    8.4379999999884e-05 × 6371000     		dl = 537.584979999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11507449--1.11515887) × R
    8.4379999999884e-05 × 6371000     		dr = 537.584979999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22971362-0.22990537) × cos(-1.11507449) × R
    0.000191749999999991 × 0.440110597120553 × 6371000     		do = 537.656379783378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22971362-0.22990537) × cos(-1.11515887) × R
    0.000191749999999991 × 0.440034827075068 × 6371000     		du = 537.56381612184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11507449)-sin(-1.11515887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440110597120553-0.440034827075068)×R²
    abs(0.22990537-0.22971362)×7.57700454844801e-05×R²
    0.000191749999999991×7.57700454844801e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.57700454844801e-05×40589641000000     		ar = 289011.113926237m²