Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17580 / 23994
↖ ↑ ↗
← S 63.830980°
E 13.139649°		 ← 538.77 m → S 63.830980°
E 13.150635°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
S 63.835825°
E 13.139649°		 ← 538.68 m →
290 227 m²		 S 63.835825°
E 13.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536514282226562 y=0.732254028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536514282226562 × 215)
    floor (0.536514282226562 × 32768)
    floor (17580.5)     		tx = 17580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732254028320312 × 215)
    floor (0.732254028320312 × 32768)
    floor (23994.5)     		ty = 23994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17580 / 23994 ti = "15/17580/23994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17580/23994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17580 ÷ 215
    17580 ÷ 32768     		x = 0.5364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23994 ÷ 215
    23994 ÷ 32768     		y = 0.73223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5364990234375 × 2 - 1) × π
    0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22933013} λ = 0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45919922443451))-π/2
    2×atan(0.232422318343631)-π/2
    2×0.228367783003076-π/2
    0.456735566006153-1.57079632675     		φ = -1.11406076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11406076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17580 KachelY 23994 0.22933013 -1.11406076 13.139649 -63.830980
    Oben rechts KachelX + 1 17581 KachelY 23994 0.22952188 -1.11406076 13.150635 -63.830980
    Unten links KachelX 17580 KachelY + 1 23995 0.22933013 -1.11414532 13.139649 -63.835825
    Unten rechts KachelX + 1 17581 KachelY + 1 23995 0.22952188 -1.11414532 13.150635 -63.835825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11406076--1.11414532) × R
    8.45599999999003e-05 × 6371000     		dl = 538.731759999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11406076--1.11414532) × R
    8.45599999999003e-05 × 6371000     		dr = 538.731759999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22933013-0.22952188) × cos(-1.11406076) × R
    0.000191750000000018 × 0.441020643164557 × 6371000     		do = 538.768127750119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22933013-0.22952188) × cos(-1.11414532) × R
    0.000191750000000018 × 0.440944749245017 × 6371000     		du = 538.675412759172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11406076)-sin(-1.11414532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441020643164557-0.440944749245017)×R²
    abs(0.22952188-0.22933013)×7.58939195399377e-05×R²
    0.000191750000000018×7.58939195399377e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.58939195399377e-05×40589641000000     		ar = 290226.5276122m²