Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17580 / 23989
↖ ↑ ↗
← S 63.806744°
E 13.139649°		 ← 539.23 m → S 63.806744°
E 13.150635°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
S 63.811592°
E 13.139649°		 ← 539.14 m →
290 717 m²		 S 63.811592°
E 13.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536514282226562 y=0.732101440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536514282226562 × 215)
    floor (0.536514282226562 × 32768)
    floor (17580.5)     		tx = 17580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732101440429688 × 215)
    floor (0.732101440429688 × 32768)
    floor (23989.5)     		ty = 23989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17580 / 23989 ti = "15/17580/23989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17580/23989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17580 ÷ 215
    17580 ÷ 32768     		x = 0.5364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23989 ÷ 215
    23989 ÷ 32768     		y = 0.732086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5364990234375 × 2 - 1) × π
    0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732086181640625 × 2 - 1) × π
    -0.46417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45824048644211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22933013} λ = 0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45824048644211))-π/2
    2×atan(0.232645257303458)-π/2
    2×0.228579285601633-π/2
    0.457158571203267-1.57079632675     		φ = -1.11363776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11363776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.806744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17580 KachelY 23989 0.22933013 -1.11363776 13.139649 -63.806744
    Oben rechts KachelX + 1 17581 KachelY 23989 0.22952188 -1.11363776 13.150635 -63.806744
    Unten links KachelX 17580 KachelY + 1 23990 0.22933013 -1.11372239 13.139649 -63.811592
    Unten rechts KachelX + 1 17581 KachelY + 1 23990 0.22952188 -1.11372239 13.150635 -63.811592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11363776--1.11372239) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11363776--1.11372239) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22933013-0.22952188) × cos(-1.11363776) × R
    0.000191750000000018 × 0.441400244911411 × 6371000     		do = 539.231864143444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22933013-0.22952188) × cos(-1.11372239) × R
    0.000191750000000018 × 0.441324303957781 × 6371000     		du = 539.139091693807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11363776)-sin(-1.11372239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441400244911411-0.441324303957781)×R²
    abs(0.22952188-0.22933013)×7.59409536300049e-05×R²
    0.000191750000000018×7.59409536300049e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.59409536300049e-05×40589641000000     		ar = 290716.802205798m²