Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17578 / 51626
↖ ↑ ↗
← S 71.374619°
W 83.441162°		 ← 195.07 m → S 71.374619°
W 83.435669°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
S 71.376373°
W 83.441162°		 ← 195.06 m →
38 041 m²		 S 71.376373°
W 83.435669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268226623535156 y=0.787757873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268226623535156 × 216)
    floor (0.268226623535156 × 65536)
    floor (17578.5)     		tx = 17578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787757873535156 × 216)
    floor (0.787757873535156 × 65536)
    floor (51626.5)     		ty = 51626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17578 / 51626 ti = "16/17578/51626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17578/51626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17578 ÷ 216
    17578 ÷ 65536     		x = 0.268218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51626 ÷ 216
    51626 ÷ 65536     		y = 0.787750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.46356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45632301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.57550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80798810607004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45632301} λ = -1.45632301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80798810607004))-π/2
    2×atan(0.163983723002215)-π/2
    2×0.162537115458372-π/2
    0.325074230916743-1.57079632675     		φ = -1.24572210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45632301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.441162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24572210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.374619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17578 KachelY 51626 -1.45632301 -1.24572210 -83.441162 -71.374619
    Oben rechts KachelX + 1 17579 KachelY 51626 -1.45622714 -1.24572210 -83.435669 -71.374619
    Unten links KachelX 17578 KachelY + 1 51627 -1.45632301 -1.24575271 -83.441162 -71.376373
    Unten rechts KachelX + 1 17579 KachelY + 1 51627 -1.45622714 -1.24575271 -83.435669 -71.376373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24572210--1.24575271) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24572210--1.24575271) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45632301--1.45622714) × cos(-1.24572210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319379126053405 × 6371000     		do = 195.072864186704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45632301--1.45622714) × cos(-1.24575271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319350119040625 × 6371000     		du = 195.055147058054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24572210)-sin(-1.24575271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319379126053405-0.319350119040625)×R²
    abs(-1.45622714--1.45632301)×2.90070127800246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90070127800246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90070127800246e-05×40589641000000     		ar = 38040.6625933616m²