Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17577 / 51625
↖ ↑ ↗
← S 71.372864°
W 83.446655°		 ← 195.09 m → S 71.372864°
W 83.441162°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 71.374619°
W 83.446655°		 ← 195.07 m →
38 069 m²		 S 71.374619°
W 83.441162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268211364746094 y=0.787742614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268211364746094 × 216)
    floor (0.268211364746094 × 65536)
    floor (17577.5)     		tx = 17577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787742614746094 × 216)
    floor (0.787742614746094 × 65536)
    floor (51625.5)     		ty = 51625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17577 / 51625 ti = "16/17577/51625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17577/51625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17577 ÷ 216
    17577 ÷ 65536     		x = 0.268203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51625 ÷ 216
    51625 ÷ 65536     		y = 0.787734985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268203735351562 × 2 - 1) × π
    -0.463592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45641888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.575469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8078922322708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45641888} λ = -1.45641888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8078922322708))-π/2
    2×atan(0.163999445498429)-π/2
    2×0.162552426199163-π/2
    0.325104852398325-1.57079632675     		φ = -1.24569147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45641888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.446655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24569147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.372864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17577 KachelY 51625 -1.45641888 -1.24569147 -83.446655 -71.372864
    Oben rechts KachelX + 1 17578 KachelY 51625 -1.45632301 -1.24569147 -83.441162 -71.372864
    Unten links KachelX 17577 KachelY + 1 51626 -1.45641888 -1.24572210 -83.446655 -71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 17578 KachelY + 1 51626 -1.45632301 -1.24572210 -83.441162 -71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24569147--1.24572210) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dl = 195.143730000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24569147--1.24572210) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dr = 195.143730000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45641888--1.45632301) × cos(-1.24569147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319408151719281 × 6371000     		do = 195.090592708437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45641888--1.45632301) × cos(-1.24572210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 195.072864186704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24569147)-sin(-1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319408151719281-0.319379126053405)×R²
    abs(-1.45632301--1.45641888)×2.90256658756483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90256658756483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90256658756483e-05×40589641000000     		ar = 38068.9761473658m²