Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17570 / 51535
↖ ↑ ↗
← S 71.214306°
W 83.485107°		 ← 196.69 m → S 71.214306°
W 83.479614°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 71.216075°
W 83.485107°		 ← 196.67 m →
38 682 m²		 S 71.216075°
W 83.479614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268104553222656 y=0.786369323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268104553222656 × 216)
    floor (0.268104553222656 × 65536)
    floor (17570.5)     		tx = 17570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786369323730469 × 216)
    floor (0.786369323730469 × 65536)
    floor (51535.5)     		ty = 51535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17570 / 51535 ti = "16/17570/51535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17570/51535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17570 ÷ 216
    17570 ÷ 65536     		x = 0.268096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51535 ÷ 216
    51535 ÷ 65536     		y = 0.786361694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.46380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45709000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786361694335938 × 2 - 1) × π
    -0.572723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79926359033919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45709000} λ = -1.45709000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79926359033919))-π/2
    2×atan(0.165420660751525)-π/2
    2×0.163936102922453-π/2
    0.327872205844905-1.57079632675     		φ = -1.24292412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45709000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.485107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24292412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.214306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17570 KachelY 51535 -1.45709000 -1.24292412 -83.485107 -71.214306
    Oben rechts KachelX + 1 17571 KachelY 51535 -1.45699413 -1.24292412 -83.479614 -71.214306
    Unten links KachelX 17570 KachelY + 1 51536 -1.45709000 -1.24295499 -83.485107 -71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 17571 KachelY + 1 51536 -1.45699413 -1.24295499 -83.479614 -71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24292412--1.24295499) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24292412--1.24295499) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45709000--1.45699413) × cos(-1.24292412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322029313890768 × 6371000     		do = 196.691566505968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45709000--1.45699413) × cos(-1.24295499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 196.67371580632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24292412)-sin(-1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322029313890768-0.322000088191557)×R²
    abs(-1.45699413--1.45709000)×2.92256992113771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92256992113771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92256992113771e-05×40589641000000     		ar = 38682.1198499197m²