Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17569 / 51681
↖ ↑ ↗
← S 71.470870°
W 83.490600°		 ← 194.10 m → S 71.470870°
W 83.485107°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 71.472616°
W 83.490600°		 ← 194.08 m →
37 678 m²		 S 71.472616°
W 83.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268089294433594 y=0.788597106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268089294433594 × 216)
    floor (0.268089294433594 × 65536)
    floor (17569.5)     		tx = 17569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788597106933594 × 216)
    floor (0.788597106933594 × 65536)
    floor (51681.5)     		ty = 51681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17569 / 51681 ti = "16/17569/51681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17569/51681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17569 ÷ 216
    17569 ÷ 65536     		x = 0.268081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51681 ÷ 216
    51681 ÷ 65536     		y = 0.788589477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.463836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45718587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788589477539062 × 2 - 1) × π
    -0.577178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81326116502824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45718587} λ = -1.45718587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81326116502824))-π/2
    2×atan(0.16312130295682)-π/2
    2×0.161697163686129-π/2
    0.323394327372259-1.57079632675     		φ = -1.24740200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45718587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.490600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24740200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.470870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17569 KachelY 51681 -1.45718587 -1.24740200 -83.490600 -71.470870
    Oben rechts KachelX + 1 17570 KachelY 51681 -1.45709000 -1.24740200 -83.485107 -71.470870
    Unten links KachelX 17569 KachelY + 1 51682 -1.45718587 -1.24743247 -83.490600 -71.472616
    Unten rechts KachelX + 1 17570 KachelY + 1 51682 -1.45709000 -1.24743247 -83.485107 -71.472616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24740200--1.24743247) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24740200--1.24743247) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45718587--1.45709000) × cos(-1.24740200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317786757512933 × 6371000     		do = 194.100264956851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45718587--1.45709000) × cos(-1.24743247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317757866862874 × 6371000     		du = 194.082618901128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24740200)-sin(-1.24743247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317786757512933-0.317757866862874)×R²
    abs(-1.45709000--1.45718587)×2.88906500586217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88906500586217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88906500586217e-05×40589641000000     		ar = 37677.8788897776m²