Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17569 / 51676
↖ ↑ ↗
← S 71.462140°
W 83.490600°		 ← 194.19 m → S 71.462140°
W 83.485107°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 71.463886°
W 83.490600°		 ← 194.17 m →
37 707 m²		 S 71.463886°
W 83.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268089294433594 y=0.788520812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268089294433594 × 216)
    floor (0.268089294433594 × 65536)
    floor (17569.5)     		tx = 17569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788520812988281 × 216)
    floor (0.788520812988281 × 65536)
    floor (51676.5)     		ty = 51676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17569 / 51676 ti = "16/17569/51676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17569/51676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17569 ÷ 216
    17569 ÷ 65536     		x = 0.268081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51676 ÷ 216
    51676 ÷ 65536     		y = 0.78851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.463836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45718587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81278179603204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45718587} λ = -1.45718587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81278179603204))-π/2
    2×atan(0.163199516997273)-π/2
    2×0.161773349558116-π/2
    0.323546699116233-1.57079632675     		φ = -1.24724963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45718587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.490600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24724963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.462140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17569 KachelY 51676 -1.45718587 -1.24724963 -83.490600 -71.462140
    Oben rechts KachelX + 1 17570 KachelY 51676 -1.45709000 -1.24724963 -83.485107 -71.462140
    Unten links KachelX 17569 KachelY + 1 51677 -1.45718587 -1.24728011 -83.490600 -71.463886
    Unten rechts KachelX + 1 17570 KachelY + 1 51677 -1.45709000 -1.24728011 -83.485107 -71.463886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24724963--1.24728011) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24724963--1.24728011) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45718587--1.45709000) × cos(-1.24724963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317931225299367 × 6371000     		do = 194.188504113964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45718587--1.45709000) × cos(-1.24728011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317902326643735 × 6371000     		du = 194.170853168534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24724963)-sin(-1.24728011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317931225299367-0.317902326643735)×R²
    abs(-1.45709000--1.45718587)×2.88986556319371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88986556319371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88986556319371e-05×40589641000000     		ar = 37707.3789734429m²