Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17569 / 23977
↖ ↑ ↗
← S 63.748491°
E 13.018799°		 ← 540.35 m → S 63.748491°
E 13.029785°		 →
↑
540.26 m
↓
↑
540.26 m
↓
S 63.753350°
E 13.018799°		 ← 540.25 m →
291 903 m²		 S 63.753350°
E 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536178588867188 y=0.731735229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536178588867188 × 215)
    floor (0.536178588867188 × 32768)
    floor (17569.5)     		tx = 17569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731735229492188 × 215)
    floor (0.731735229492188 × 32768)
    floor (23977.5)     		ty = 23977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17569 / 23977 ti = "15/17569/23977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17569/23977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17569 ÷ 215
    17569 ÷ 32768     		x = 0.536163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23977 ÷ 215
    23977 ÷ 32768     		y = 0.731719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536163330078125 × 2 - 1) × π
    0.07232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22722090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.46343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45593951526035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22722090} λ = 0.22722090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45593951526035))-π/2
    2×atan(0.233181183675202)-π/2
    2×0.229087634750218-π/2
    0.458175269500436-1.57079632675     		φ = -1.11262106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22722090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11262106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.748491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17569 KachelY 23977 0.22722090 -1.11262106 13.018799 -63.748491
    Oben rechts KachelX + 1 17570 KachelY 23977 0.22741265 -1.11262106 13.029785 -63.748491
    Unten links KachelX 17569 KachelY + 1 23978 0.22722090 -1.11270586 13.018799 -63.753350
    Unten rechts KachelX + 1 17570 KachelY + 1 23978 0.22741265 -1.11270586 13.029785 -63.753350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11262106--1.11270586) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dl = 540.260799999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11262106--1.11270586) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dr = 540.260799999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22722090-0.22741265) × cos(-1.11262106) × R
    0.000191749999999991 × 0.442312312031147 × 6371000     		do = 540.346081135469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22722090-0.22741265) × cos(-1.11270586) × R
    0.000191749999999991 × 0.44223625662028 × 6371000     		du = 540.25316886038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11262106)-sin(-1.11270586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442312312031147-0.44223625662028)×R²
    abs(0.22741265-0.22722090)×7.60554108665268e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60554108665268e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60554108665268e-05×40589641000000     		ar = 291902.707815982m²