Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17568 / 51680
↖ ↑ ↗
← S 71.469124°
W 83.496094°		 ← 194.14 m → S 71.469124°
W 83.490600°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 71.470870°
W 83.496094°		 ← 194.12 m →
37 685 m²		 S 71.470870°
W 83.490600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268074035644531 y=0.788581848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268074035644531 × 216)
    floor (0.268074035644531 × 65536)
    floor (17568.5)     		tx = 17568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788581848144531 × 216)
    floor (0.788581848144531 × 65536)
    floor (51680.5)     		ty = 51680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17568 / 51680 ti = "16/17568/51680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17568/51680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17568 ÷ 216
    17568 ÷ 65536     		x = 0.26806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51680 ÷ 216
    51680 ÷ 65536     		y = 0.78857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45728175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78857421875 × 2 - 1) × π
    -0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45728175} λ = -1.45728175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.813165291229))-π/2
    2×atan(0.163136942765584)-π/2
    2×0.161712398090472-π/2
    0.323424796180943-1.57079632675     		φ = -1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45728175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17568 KachelY 51680 -1.45728175 -1.24737153 -83.496094 -71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 17569 KachelY 51680 -1.45718587 -1.24737153 -83.490600 -71.469124
    Unten links KachelX 17568 KachelY + 1 51681 -1.45728175 -1.24740200 -83.496094 -71.470870
    Unten rechts KachelX + 1 17569 KachelY + 1 51681 -1.45718587 -1.24740200 -83.490600 -71.470870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24737153--1.24740200) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24737153--1.24740200) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45728175--1.45718587) × cos(-1.24737153) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 194.13815886717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45728175--1.45718587) × cos(-1.24740200) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.317786757512933 × 6371000     		du = 194.120511151049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24737153)-sin(-1.24740200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.317786757512933)×R²
    abs(-1.45718587--1.45728175)×2.88903550187403e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.88903550187403e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.88903550187403e-05×40589641000000     		ar = 37685.2348600969m²