Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17567 / 51682
↖ ↑ ↗
← S 71.472616°
W 83.501587°		 ← 194.08 m → S 71.472616°
W 83.496094°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
S 71.474361°
W 83.501587°		 ← 194.06 m →
37 662 m²		 S 71.474361°
W 83.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268058776855469 y=0.788612365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268058776855469 × 216)
    floor (0.268058776855469 × 65536)
    floor (17567.5)     		tx = 17567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788612365722656 × 216)
    floor (0.788612365722656 × 65536)
    floor (51682.5)     		ty = 51682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17567 / 51682 ti = "16/17567/51682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17567/51682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17567 ÷ 216
    17567 ÷ 65536     		x = 0.268051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51682 ÷ 216
    51682 ÷ 65536     		y = 0.788604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.463897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45737762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.57720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81335703882748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45737762} λ = -1.45737762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81335703882748))-π/2
    2×atan(0.163105664647433)-π/2
    2×0.161681930666591-π/2
    0.323363861333182-1.57079632675     		φ = -1.24743247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45737762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.501587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24743247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.472616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17567 KachelY 51682 -1.45737762 -1.24743247 -83.501587 -71.472616
    Oben rechts KachelX + 1 17568 KachelY 51682 -1.45728175 -1.24743247 -83.496094 -71.472616
    Unten links KachelX 17567 KachelY + 1 51683 -1.45737762 -1.24746293 -83.501587 -71.474361
    Unten rechts KachelX + 1 17568 KachelY + 1 51683 -1.45728175 -1.24746293 -83.496094 -71.474361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24743247--1.24746293) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24743247--1.24746293) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45737762--1.45728175) × cos(-1.24743247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317757866862874 × 6371000     		do = 194.082618901128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45737762--1.45728175) × cos(-1.24746293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317728985399618 × 6371000     		du = 194.064978456591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24743247)-sin(-1.24746293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317757866862874-0.317728985399618)×R²
    abs(-1.45728175--1.45737762)×2.88814632560253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88814632560253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88814632560253e-05×40589641000000     		ar = 37662.0894633816m²