Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17567 / 24003
↖ ↑ ↗
← S 63.874553°
E 12.996826°		 ← 537.93 m → S 63.874553°
E 13.007813°		 →
↑
537.90 m
↓
↑
537.90 m
↓
S 63.879390°
E 12.996826°		 ← 537.84 m →
289 332 m²		 S 63.879390°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536117553710938 y=0.732528686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536117553710938 × 215)
    floor (0.536117553710938 × 32768)
    floor (17567.5)     		tx = 17567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732528686523438 × 215)
    floor (0.732528686523438 × 32768)
    floor (24003.5)     		ty = 24003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17567 / 24003 ti = "15/17567/24003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17567/24003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17567 ÷ 215
    17567 ÷ 32768     		x = 0.536102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24003 ÷ 215
    24003 ÷ 32768     		y = 0.732513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536102294921875 × 2 - 1) × π
    0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.46502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46092495282083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22683741} λ = 0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46092495282083))-π/2
    2×atan(0.232021566445173)-π/2
    2×0.22798753666457-π/2
    0.45597507332914-1.57079632675     		φ = -1.11482125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11482125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.874553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17567 KachelY 24003 0.22683741 -1.11482125 12.996826 -63.874553
    Oben rechts KachelX + 1 17568 KachelY 24003 0.22702916 -1.11482125 13.007813 -63.874553
    Unten links KachelX 17567 KachelY + 1 24004 0.22683741 -1.11490568 12.996826 -63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 17568 KachelY + 1 24004 0.22702916 -1.11490568 13.007813 -63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11482125--1.11490568) × R
    8.44299999998022e-05 × 6371000     		dl = 537.90352999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11482125--1.11490568) × R
    8.44299999998022e-05 × 6371000     		dr = 537.90352999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22683741-0.22702916) × cos(-1.11482125) × R
    0.000191750000000018 × 0.440337978236576 × 6371000     		do = 537.934157479499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22683741-0.22702916) × cos(-1.11490568) × R
    0.000191750000000018 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 537.841550465176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11482125)-sin(-1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440337978236576-0.440262172703705)×R²
    abs(0.22702916-0.22683741)×7.58055328717866e-05×R²
    0.000191750000000018×7.58055328717866e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.58055328717866e-05×40589641000000     		ar = 289331.775566489m²