Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17565 / 51687
↖ ↑ ↗
← S 71.481341°
W 83.512573°		 ← 193.99 m → S 71.481341°
W 83.507080°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 71.483085°
W 83.512573°		 ← 193.98 m →
37 633 m²		 S 71.483085°
W 83.507080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268028259277344 y=0.788688659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268028259277344 × 216)
    floor (0.268028259277344 × 65536)
    floor (17565.5)     		tx = 17565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788688659667969 × 216)
    floor (0.788688659667969 × 65536)
    floor (51687.5)     		ty = 51687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17565 / 51687 ti = "16/17565/51687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17565/51687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17565 ÷ 216
    17565 ÷ 65536     		x = 0.268020629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51687 ÷ 216
    51687 ÷ 65536     		y = 0.788681030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.463958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45756937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788681030273438 × 2 - 1) × π
    -0.577362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81383640782368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45756937} λ = -1.45756937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81383640782368))-π/2
    2×atan(0.163027495586105)-π/2
    2×0.161605786337049-π/2
    0.323211572674098-1.57079632675     		φ = -1.24758475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45756937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.512573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24758475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.481341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17565 KachelY 51687 -1.45756937 -1.24758475 -83.512573 -71.481341
    Oben rechts KachelX + 1 17566 KachelY 51687 -1.45747350 -1.24758475 -83.507080 -71.481341
    Unten links KachelX 17565 KachelY + 1 51688 -1.45756937 -1.24761520 -83.512573 -71.483085
    Unten rechts KachelX + 1 17566 KachelY + 1 51688 -1.45747350 -1.24761520 -83.507080 -71.483085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24758475--1.24761520) × R
    3.04500000001262e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24758475--1.24761520) × R
    3.04500000001262e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45756937--1.45747350) × cos(-1.24758475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317613475563341 × 6371000     		do = 193.994426461279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45756937--1.45747350) × cos(-1.24761520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317584602108883 × 6371000     		du = 193.976790908418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24758475)-sin(-1.24761520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317613475563341-0.317584602108883)×R²
    abs(-1.45747350--1.45756937)×2.88734544584002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88734544584002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88734544584002e-05×40589641000000     		ar = 37632.6164317814m²