Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17565 / 51685
↖ ↑ ↗
← S 71.477851°
W 83.512573°		 ← 194.03 m → S 71.477851°
W 83.507080°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 71.479596°
W 83.512573°		 ← 194.01 m →
37 639 m²		 S 71.479596°
W 83.507080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268028259277344 y=0.788658142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268028259277344 × 216)
    floor (0.268028259277344 × 65536)
    floor (17565.5)     		tx = 17565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788658142089844 × 216)
    floor (0.788658142089844 × 65536)
    floor (51685.5)     		ty = 51685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17565 / 51685 ti = "16/17565/51685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17565/51685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17565 ÷ 216
    17565 ÷ 65536     		x = 0.268020629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51685 ÷ 216
    51685 ÷ 65536     		y = 0.788650512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.463958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45756937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788650512695312 × 2 - 1) × π
    -0.577301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8136446602252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45756937} λ = -1.45756937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8136446602252))-π/2
    2×atan(0.163058758714089)-π/2
    2×0.161636239915683-π/2
    0.323272479831366-1.57079632675     		φ = -1.24752385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45756937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.512573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24752385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.477851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17565 KachelY 51685 -1.45756937 -1.24752385 -83.512573 -71.477851
    Oben rechts KachelX + 1 17566 KachelY 51685 -1.45747350 -1.24752385 -83.507080 -71.477851
    Unten links KachelX 17565 KachelY + 1 51686 -1.45756937 -1.24755430 -83.512573 -71.479596
    Unten rechts KachelX + 1 17566 KachelY + 1 51686 -1.45747350 -1.24755430 -83.507080 -71.479596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24752385--1.24755430) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dl = 193.996949999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24752385--1.24755430) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dr = 193.996949999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45756937--1.45747350) × cos(-1.24752385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317671221588755 × 6371000     		do = 194.029697027367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45756937--1.45747350) × cos(-1.24755430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317642348723308 × 6371000     		du = 194.012061834267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24752385)-sin(-1.24755430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317671221588755-0.317642348723308)×R²
    abs(-1.45747350--1.45756937)×2.88728654473935e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88728654473935e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88728654473935e-05×40589641000000     		ar = 37639.4588485061m²