Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17564 / 51531
↖ ↑ ↗
← S 71.207229°
W 83.518066°		 ← 196.76 m → S 71.207229°
W 83.512573°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 71.208999°
W 83.518066°		 ← 196.75 m →
38 721 m²		 S 71.208999°
W 83.512573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268013000488281 y=0.786308288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268013000488281 × 216)
    floor (0.268013000488281 × 65536)
    floor (17564.5)     		tx = 17564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786308288574219 × 216)
    floor (0.786308288574219 × 65536)
    floor (51531.5)     		ty = 51531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17564 / 51531 ti = "16/17564/51531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17564/51531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17564 ÷ 216
    17564 ÷ 65536     		x = 0.26800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51531 ÷ 216
    51531 ÷ 65536     		y = 0.786300659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.4639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45766524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786300659179688 × 2 - 1) × π
    -0.572601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79888009514223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45766524} λ = -1.45766524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79888009514223))-π/2
    2×atan(0.165484110946046)-π/2
    2×0.16399786248043-π/2
    0.32799572496086-1.57079632675     		φ = -1.24280060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45766524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.518066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24280060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.207229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17564 KachelY 51531 -1.45766524 -1.24280060 -83.518066 -71.207229
    Oben rechts KachelX + 1 17565 KachelY 51531 -1.45756937 -1.24280060 -83.512573 -71.207229
    Unten links KachelX 17564 KachelY + 1 51532 -1.45766524 -1.24283149 -83.518066 -71.208999
    Unten rechts KachelX + 1 17565 KachelY + 1 51532 -1.45756937 -1.24283149 -83.512573 -71.208999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24280060--1.24283149) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dl = 196.800189999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24280060--1.24283149) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dr = 196.800189999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45766524--1.45756937) × cos(-1.24280060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322146251486131 × 6371000     		do = 196.762990559069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45766524--1.45756937) × cos(-1.24283149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322117008081008 × 6371000     		du = 196.745129044866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24280060)-sin(-1.24283149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322146251486131-0.322117008081008)×R²
    abs(-1.45756937--1.45766524)×2.92434051233359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92434051233359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92434051233359e-05×40589641000000     		ar = 38721.2363553926m²