Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17564 / 24003
↖ ↑ ↗
← S 63.874553°
E 12.963867°		 ← 537.91 m → S 63.874553°
E 12.974853°		 →
↑
537.90 m
↓
↑
537.90 m
↓
S 63.879390°
E 12.963867°		 ← 537.81 m →
289 317 m²		 S 63.879390°
E 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536026000976562 y=0.732528686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536026000976562 × 215)
    floor (0.536026000976562 × 32768)
    floor (17564.5)     		tx = 17564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732528686523438 × 215)
    floor (0.732528686523438 × 32768)
    floor (24003.5)     		ty = 24003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17564 / 24003 ti = "15/17564/24003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17564/24003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17564 ÷ 215
    17564 ÷ 32768     		x = 0.5360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24003 ÷ 215
    24003 ÷ 32768     		y = 0.732513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5360107421875 × 2 - 1) × π
    0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.46502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46092495282083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22626217} λ = 0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46092495282083))-π/2
    2×atan(0.232021566445173)-π/2
    2×0.22798753666457-π/2
    0.45597507332914-1.57079632675     		φ = -1.11482125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11482125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.874553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17564 KachelY 24003 0.22626217 -1.11482125 12.963867 -63.874553
    Oben rechts KachelX + 1 17565 KachelY 24003 0.22645391 -1.11482125 12.974853 -63.874553
    Unten links KachelX 17564 KachelY + 1 24004 0.22626217 -1.11490568 12.963867 -63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 17565 KachelY + 1 24004 0.22645391 -1.11490568 12.974853 -63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11482125--1.11490568) × R
    8.44299999998022e-05 × 6371000     		dl = 537.90352999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11482125--1.11490568) × R
    8.44299999998022e-05 × 6371000     		dr = 537.90352999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22626217-0.22645391) × cos(-1.11482125) × R
    0.000191739999999996 × 0.440337978236576 × 6371000     		do = 537.906103546842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22626217-0.22645391) × cos(-1.11490568) × R
    0.000191739999999996 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 537.813501362089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11482125)-sin(-1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440337978236576-0.440262172703705)×R²
    abs(0.22645391-0.22626217)×7.58055328717866e-05×R²
    0.000191739999999996×7.58055328717866e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.58055328717866e-05×40589641000000     		ar = 289316.686555995m²