Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17563 / 24030
↖ ↑ ↗
← S 64.004867°
E 12.952881°		 ← 535.44 m → S 64.004867°
E 12.963867°		 →
↑
535.42 m
↓
↑
535.42 m
↓
S 64.009682°
E 12.952881°		 ← 535.35 m →
286 659 m²		 S 64.009682°
E 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535995483398438 y=0.733352661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535995483398438 × 215)
    floor (0.535995483398438 × 32768)
    floor (17563.5)     		tx = 17563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733352661132812 × 215)
    floor (0.733352661132812 × 32768)
    floor (24030.5)     		ty = 24030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17563 / 24030 ti = "15/17563/24030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17563/24030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17563 ÷ 215
    17563 ÷ 32768     		x = 0.535980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24030 ÷ 215
    24030 ÷ 32768     		y = 0.73333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535980224609375 × 2 - 1) × π
    0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.4666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4661021379798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22607042} λ = 0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4661021379798))-π/2
    2×atan(0.230823451941239)-π/2
    2×0.226850327094348-π/2
    0.453700654188697-1.57079632675     		φ = -1.11709567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11709567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.004867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17563 KachelY 24030 0.22607042 -1.11709567 12.952881 -64.004867
    Oben rechts KachelX + 1 17564 KachelY 24030 0.22626217 -1.11709567 12.963867 -64.004867
    Unten links KachelX 17563 KachelY + 1 24031 0.22607042 -1.11717971 12.952881 -64.009682
    Unten rechts KachelX + 1 17564 KachelY + 1 24031 0.22626217 -1.11717971 12.963867 -64.009682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11709567--1.11717971) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dl = 535.418839999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11709567--1.11717971) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dr = 535.418839999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22607042-0.22626217) × cos(-1.11709567) × R
    0.000191750000000018 × 0.438294793800425 × 6371000     		do = 535.438123177307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22607042-0.22626217) × cos(-1.11717971) × R
    0.000191750000000018 × 0.438219254471787 × 6371000     		du = 535.345841368524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11709567)-sin(-1.11717971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438294793800425-0.438219254471787)×R²
    abs(0.22626217-0.22607042)×7.5539328637908e-05×R²
    0.000191750000000018×7.5539328637908e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.5539328637908e-05×40589641000000     		ar = 286658.954262293m²