Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17562 / 51461
↖ ↑ ↗
← S 71.082963°
W 83.529053°		 ← 198.02 m → S 71.082963°
W 83.523560°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 71.084743°
W 83.529053°		 ← 198 m →
39 208 m²		 S 71.084743°
W 83.523560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267982482910156 y=0.785240173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267982482910156 × 216)
    floor (0.267982482910156 × 65536)
    floor (17562.5)     		tx = 17562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785240173339844 × 216)
    floor (0.785240173339844 × 65536)
    floor (51461.5)     		ty = 51461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17562 / 51461 ti = "16/17562/51461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17562/51461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17562 ÷ 216
    17562 ÷ 65536     		x = 0.267974853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51461 ÷ 216
    51461 ÷ 65536     		y = 0.785232543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.46405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45785699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785232543945312 × 2 - 1) × π
    -0.570465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79216892919542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45785699} λ = -1.45785699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79216892919542))-π/2
    2×atan(0.166598437308321)-π/2
    2×0.165082291358581-π/2
    0.330164582717162-1.57079632675     		φ = -1.24063174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45785699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.529053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24063174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.082963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17562 KachelY 51461 -1.45785699 -1.24063174 -83.529053 -71.082963
    Oben rechts KachelX + 1 17563 KachelY 51461 -1.45776112 -1.24063174 -83.523560 -71.082963
    Unten links KachelX 17562 KachelY + 1 51462 -1.45785699 -1.24066282 -83.529053 -71.084743
    Unten rechts KachelX + 1 17563 KachelY + 1 51462 -1.45776112 -1.24066282 -83.523560 -71.084743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24063174--1.24066282) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24063174--1.24066282) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45785699--1.45776112) × cos(-1.24063174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324198730082353 × 6371000     		do = 198.016619383828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45785699--1.45776112) × cos(-1.24066282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324169328587732 × 6371000     		du = 197.998661310494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24063174)-sin(-1.24066282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324198730082353-0.324169328587732)×R²
    abs(-1.45776112--1.45785699)×2.94014946205512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94014946205512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94014946205512e-05×40589641000000     		ar = 39207.6275133672m²