Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17562 / 24029
↖ ↑ ↗
← S 64.000051°
E 12.941894°		 ← 535.53 m → S 64.000051°
E 12.952881°		 →
↑
535.48 m
↓
↑
535.48 m
↓
S 64.004867°
E 12.941894°		 ← 535.44 m →
286 742 m²		 S 64.004867°
E 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535964965820312 y=0.733322143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535964965820312 × 215)
    floor (0.535964965820312 × 32768)
    floor (17562.5)     		tx = 17562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733322143554688 × 215)
    floor (0.733322143554688 × 32768)
    floor (24029.5)     		ty = 24029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17562 / 24029 ti = "15/17562/24029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17562/24029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17562 ÷ 215
    17562 ÷ 32768     		x = 0.53594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24029 ÷ 215
    24029 ÷ 32768     		y = 0.733306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53594970703125 × 2 - 1) × π
    0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.46661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46591039038132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22587867} λ = 0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46591039038132))-π/2
    2×atan(0.230867716027452)-π/2
    2×0.226892351702483-π/2
    0.453784703404967-1.57079632675     		φ = -1.11701162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11701162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.000051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17562 KachelY 24029 0.22587867 -1.11701162 12.941894 -64.000051
    Oben rechts KachelX + 1 17563 KachelY 24029 0.22607042 -1.11701162 12.952881 -64.000051
    Unten links KachelX 17562 KachelY + 1 24030 0.22587867 -1.11709567 12.941894 -64.004867
    Unten rechts KachelX + 1 17563 KachelY + 1 24030 0.22607042 -1.11709567 12.952881 -64.004867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11701162--1.11709567) × R
    8.40500000001132e-05 × 6371000     		dl = 535.482550000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11701162--1.11709567) × R
    8.40500000001132e-05 × 6371000     		dr = 535.482550000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22587867-0.22607042) × cos(-1.11701162) × R
    0.000191749999999991 × 0.438370339021453 × 6371000     		do = 535.530412184388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22587867-0.22607042) × cos(-1.11709567) × R
    0.000191749999999991 × 0.438294793800425 × 6371000     		du = 535.438123177229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11701162)-sin(-1.11709567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438370339021453-0.438294793800425)×R²
    abs(0.22607042-0.22587867)×7.5545221028428e-05×R²
    0.000191749999999991×7.5545221028428e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.5545221028428e-05×40589641000000     		ar = 286742.481312205m²