Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17557 / 51484
↖ ↑ ↗
← S 71.123880°
W 83.556519°		 ← 197.60 m → S 71.123880°
W 83.551026°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 71.125657°
W 83.556519°		 ← 197.59 m →
39 038 m²		 S 71.125657°
W 83.551026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267906188964844 y=0.785591125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267906188964844 × 216)
    floor (0.267906188964844 × 65536)
    floor (17557.5)     		tx = 17557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785591125488281 × 216)
    floor (0.785591125488281 × 65536)
    floor (51484.5)     		ty = 51484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17557 / 51484 ti = "16/17557/51484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17557/51484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17557 ÷ 216
    17557 ÷ 65536     		x = 0.267898559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51484 ÷ 216
    51484 ÷ 65536     		y = 0.78558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267898559570312 × 2 - 1) × π
    -0.464202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45833636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45833636} λ = -1.45833636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79437402657794))-π/2
    2×atan(0.166231476271386)-π/2
    2×0.164725219063175-π/2
    0.32945043812635-1.57079632675     		φ = -1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45833636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.556519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17557 KachelY 51484 -1.45833636 -1.24134589 -83.556519 -71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 17558 KachelY 51484 -1.45824049 -1.24134589 -83.551026 -71.123880
    Unten links KachelX 17557 KachelY + 1 51485 -1.45833636 -1.24137690 -83.556519 -71.125657
    Unten rechts KachelX + 1 17558 KachelY + 1 51485 -1.45824049 -1.24137690 -83.551026 -71.125657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24134589--1.24137690) × R
    3.10099999998315e-05 × 6371000     		dl = 197.564709998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24134589--1.24137690) × R
    3.10099999998315e-05 × 6371000     		dr = 197.564709998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45833636--1.45824049) × cos(-1.24134589) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 197.603934118028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45833636--1.45824049) × cos(-1.24137690) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.323493726978358 × 6371000     		du = 197.586012110553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24134589)-sin(-1.24137690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323493726978358)×R²
    abs(-1.45824049--1.45833636)×2.93424465173664e-05×R²
    9.58700000002199e-05×2.93424465173664e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×2.93424465173664e-05×40589641000000     		ar = 39037.7935639202m²