Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17556 / 51483
↖ ↑ ↗
← S 71.122103°
W 83.562011°		 ← 197.62 m → S 71.122103°
W 83.556519°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 71.123880°
W 83.562011°		 ← 197.60 m →
39 054 m²		 S 71.123880°
W 83.556519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267890930175781 y=0.785575866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267890930175781 × 216)
    floor (0.267890930175781 × 65536)
    floor (17556.5)     		tx = 17556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785575866699219 × 216)
    floor (0.785575866699219 × 65536)
    floor (51483.5)     		ty = 51483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17556 / 51483 ti = "16/17556/51483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17556/51483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17556 ÷ 216
    17556 ÷ 65536     		x = 0.26788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51483 ÷ 216
    51483 ÷ 65536     		y = 0.785568237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45843223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785568237304688 × 2 - 1) × π
    -0.571136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7942781527787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45843223} λ = -1.45843223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7942781527787))-π/2
    2×atan(0.166247414278576)-π/2
    2×0.164740728459615-π/2
    0.32948145691923-1.57079632675     		φ = -1.24131487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45843223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.562011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24131487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.122103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17556 KachelY 51483 -1.45843223 -1.24131487 -83.562011 -71.122103
    Oben rechts KachelX + 1 17557 KachelY 51483 -1.45833636 -1.24131487 -83.556519 -71.122103
    Unten links KachelX 17556 KachelY + 1 51484 -1.45843223 -1.24134589 -83.562011 -71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 17557 KachelY + 1 51484 -1.45833636 -1.24134589 -83.556519 -71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24131487--1.24134589) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24131487--1.24134589) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45843223--1.45833636) × cos(-1.24131487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		do = 197.621861714362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45843223--1.45833636) × cos(-1.24134589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 197.60393411757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24131487)-sin(-1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323552421022389-0.323523069424875)×R²
    abs(-1.45833636--1.45843223)×2.9351597513716e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9351597513716e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9351597513716e-05×40589641000000     		ar = 39053.9247897007m²