Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17555 / 51482
↖ ↑ ↗
← S 71.120326°
W 83.567505°		 ← 197.66 m → S 71.120326°
W 83.562011°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 71.122103°
W 83.567505°		 ← 197.64 m →
39 062 m²		 S 71.122103°
W 83.562011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267875671386719 y=0.785560607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267875671386719 × 216)
    floor (0.267875671386719 × 65536)
    floor (17555.5)     		tx = 17555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785560607910156 × 216)
    floor (0.785560607910156 × 65536)
    floor (51482.5)     		ty = 51482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17555 / 51482 ti = "16/17555/51482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17555/51482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17555 ÷ 216
    17555 ÷ 65536     		x = 0.267868041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51482 ÷ 216
    51482 ÷ 65536     		y = 0.785552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267868041992188 × 2 - 1) × π
    -0.464263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45852811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.57110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79418227897946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45852811} λ = -1.45852811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79418227897946))-π/2
    2×atan(0.166263353813876)-π/2
    2×0.164756239263081-π/2
    0.329512478526161-1.57079632675     		φ = -1.24128385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45852811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.567505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24128385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.120326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17555 KachelY 51482 -1.45852811 -1.24128385 -83.567505 -71.120326
    Oben rechts KachelX + 1 17556 KachelY 51482 -1.45843223 -1.24128385 -83.562011 -71.120326
    Unten links KachelX 17555 KachelY + 1 51483 -1.45852811 -1.24131487 -83.567505 -71.122103
    Unten rechts KachelX + 1 17556 KachelY + 1 51483 -1.45843223 -1.24131487 -83.562011 -71.122103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24128385--1.24131487) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24128385--1.24131487) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45852811--1.45843223) × cos(-1.24128385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323581772308568 × 6371000     		do = 197.660404515582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45852811--1.45843223) × cos(-1.24131487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		du = 197.64247523898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24128385)-sin(-1.24131487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323581772308568-0.323552421022389)×R²
    abs(-1.45843223--1.45852811)×2.93512861785361e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93512861785361e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93512861785361e-05×40589641000000     		ar = 39061.5417769113m²