Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17552 / 51568
↖ ↑ ↗
← S 71.272594°
W 83.583984°		 ← 196.10 m → S 71.272594°
W 83.578491°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
S 71.274358°
W 83.583984°		 ← 196.09 m →
38 454 m²		 S 71.274358°
W 83.578491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267829895019531 y=0.786872863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267829895019531 × 216)
    floor (0.267829895019531 × 65536)
    floor (17552.5)     		tx = 17552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786872863769531 × 216)
    floor (0.786872863769531 × 65536)
    floor (51568.5)     		ty = 51568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17552 / 51568 ti = "16/17552/51568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17552/51568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17552 ÷ 216
    17552 ÷ 65536     		x = 0.267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51568 ÷ 216
    51568 ÷ 65536     		y = 0.786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.46435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45881573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45881573} λ = -1.45881573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80242742571411))-π/2
    2×atan(0.164898124059208)-π/2
    2×0.16342744132085-π/2
    0.3268548826417-1.57079632675     		φ = -1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45881573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.583984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17552 KachelY 51568 -1.45881573 -1.24394144 -83.583984 -71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 17553 KachelY 51568 -1.45871986 -1.24394144 -83.578491 -71.272594
    Unten links KachelX 17552 KachelY + 1 51569 -1.45881573 -1.24397222 -83.583984 -71.274358
    Unten rechts KachelX + 1 17553 KachelY + 1 51569 -1.45871986 -1.24397222 -83.578491 -71.274358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24394144--1.24397222) × R
    3.0780000000119e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24394144--1.24397222) × R
    3.0780000000119e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45881573--1.45871986) × cos(-1.24394144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 196.103198598503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45881573--1.45871986) × cos(-1.24397222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321036869799233 × 6371000     		du = 196.085393792449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24394144)-sin(-1.24397222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.321036869799233)×R²
    abs(-1.45871986--1.45881573)×2.91505608471798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91505608471798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91505608471798e-05×40589641000000     		ar = 38453.969908754m²