Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17548 / 51708
↖ ↑ ↗
← S 71.517945°
W 83.605957°		 ← 193.62 m → S 71.517945°
W 83.600464°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
S 71.519686°
W 83.605957°		 ← 193.61 m →
37 487 m²		 S 71.519686°
W 83.600464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267768859863281 y=0.789009094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267768859863281 × 216)
    floor (0.267768859863281 × 65536)
    floor (17548.5)     		tx = 17548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789009094238281 × 216)
    floor (0.789009094238281 × 65536)
    floor (51708.5)     		ty = 51708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17548 / 51708 ti = "16/17548/51708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17548/51708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17548 ÷ 216
    17548 ÷ 65536     		x = 0.26776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51708 ÷ 216
    51708 ÷ 65536     		y = 0.78900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45919922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45919922} λ = -1.45919922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81584975760773))-π/2
    2×atan(0.162699594413716)-π/2
    2×0.161286357858849-π/2
    0.322572715717698-1.57079632675     		φ = -1.24822361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45919922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.605957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24822361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.517945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17548 KachelY 51708 -1.45919922 -1.24822361 -83.605957 -71.517945
    Oben rechts KachelX + 1 17549 KachelY 51708 -1.45910335 -1.24822361 -83.600464 -71.517945
    Unten links KachelX 17548 KachelY + 1 51709 -1.45919922 -1.24825400 -83.605957 -71.519686
    Unten rechts KachelX + 1 17549 KachelY + 1 51709 -1.45910335 -1.24825400 -83.600464 -71.519686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24822361--1.24825400) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24822361--1.24825400) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45919922--1.45910335) × cos(-1.24822361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317007630787244 × 6371000     		do = 193.62438388152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45919922--1.45910335) × cos(-1.24825400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316978808066291 × 6371000     		du = 193.606779316064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24822361)-sin(-1.24825400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317007630787244-0.316978808066291)×R²
    abs(-1.45910335--1.45919922)×2.88227209531144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88227209531144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88227209531144e-05×40589641000000     		ar = 37486.8208137137m²